Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 trong Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 63.

Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\vec{u} = \vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\vec{A^{'} C}$ .

B. $\vec{C A^{'}}$ .

C. $\vec{A C^{'}}$ .

D. $\vec{C^{'} A}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Bài 1 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\vec{u} = \vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{A^{'} C}$ .

Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C}$ ;

b) $\vec{A B} - \vec{C D} = \vec{A C} + \vec{D B}$ .

Lời giải:

Bài 2 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

a) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{A C} = \vec{A D} + \vec{D C}$ .

Do đó,

Bài 2 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

b) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{A B} = \vec{A C} + \vec{C B}$ .

Do đó,

Bài 2 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}; \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ ;

b) Các góc $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}); (\vec{A D^{'}}, \vec{B D})$ .

Lời giải:

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

• Ta có: $\vec{A^{'} B} = \vec{D^{'} C}$ . Do đó, $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = (\vec{D^{'} C}, \vec{D^{'} C^{'}}) = \hat{C D^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C D^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{A^{'} B}| = A^{'} B$ = $\sqrt{A {A^{'}}^{2} + A B^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{D^{'} C^{'}}| = D^{'} C^{'} = a$ .

Do đó, $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}$ = $|\vec{A^{'} B}| \cdot |\vec{D^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}})$ = $a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}$ .

• Ta có $\vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C} = - \vec{A D^{'}} \cdot \vec{B C}$ .

Ta có: $\vec{A D^{'}} = \vec{B C^{'}}$ . Do đó, $(\vec{A D^{'}}, \vec{B C}) = (\vec{B C^{'}}, \vec{B C}) = \hat{C^{'} B C}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C^{'} B C} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A D^{'}}, \vec{B C}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{A D^{'}}| = A D^{'}$ = $\sqrt{D {D^{'}}^{2} + D A^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{B C}| = B C = a$ .

Do đó, $\vec{A D^{'}} \cdot \vec{B C}$ = $|\vec{A D^{'}}| \cdot |\vec{B C}| \cdot \cos (\vec{A D^{'}}, \vec{B C})$ = $a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}$ .

Vậy $\vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C} = - \vec{A D^{'}} \cdot \vec{B C} = - a^{2}$ .

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Ta có: $\vec{A^{'} D} = \vec{B^{'} C}$ . Do đó, $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}) = (\vec{B^{'} C}, \vec{B^{'} C^{'}}) = \hat{C B^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C B^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có: $\vec{A D^{'}} = \vec{B C^{'}}$ . Do đó, $(\vec{A D^{'}}, \vec{B D}) = (\vec{B C^{'}}, \vec{B D}) = \hat{C^{'} B D}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a \sqrt{2}$ nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra $\hat{C^{'} B D} = 60 °$ .

Vậy $(\vec{A D^{'}}, \vec{B D}) = 60 °$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác