Giải Toán 12 trang 27 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 27 Tập 2 trong Bài 3: Tích phân Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 27.

Bài 5 trang 27 Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=4,\underset{3}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=6$. Tính $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

Ta có $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

Suy ra $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{3}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=4-6=-2$

Bài 6 trang 27 Toán 12 Tập 2: Tính:

Lời giải:

Bài 7 trang 27 Toán 12 Tập 2: a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi t ∈ [a; b]. Hãy giải thích vì sao $\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(t\right)dt$ biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a, b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sin t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (giây) đến thời điểm t = $\frac{3\pi }{4}$ (giây).

Lời giải:

a) Gọi s(t) là quãng đường đi được của chuyển động.

Ta có vận tốc là đạo của quãng đường: s'(t) = v(t). Do đó hàm số s(t) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Khi đó ta có $\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(t\right)dt={\left.s\left(t\right)\right|}_a^b=s\left(b\right)-s\left(a\right)$ .

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(t\right)dt$  biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b.

b) Quãng đường vật đó di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (giây) đến thời điểm t = $\frac{3\pi }{4}$ (giây) là:

$s=\underset{0}{\overset{\frac{3\pi }{4}}{\int }}\left(2-\sin t\right)dt$$={\left.\left(2t+\cos t\right)\right|}_0^{\frac{3\pi }{4}}=\left(2\cdot \frac{3\pi }{4}+\cos \frac{3\pi }{4}\right)-\cos 0=\frac{3\pi }{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$≈ 3 (m).

Bài 8 trang 27 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng OA là v(t) = at (a ≠ 0).

Vì OA đi qua điểm A(1; 2) nên với t = 1 thì v = 2, ta có 2 = a ∙ 1, suy ra a = 2.

Do đó, OA: v(t) = 2t.

a) Trong 1 giây đầu tiên, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số v(t) = 2t (m/s).

Quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên là:

$s_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2tdt={\left.t^2\right|}_0^1=1^2-0^2=1$ (m).

b) Trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 (giây) đến thời điểm t = 2 (giây), vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số hằng v(t) = 2.

Quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 (giây) đến thời điểm t = 2 (giây) là:

 $s_2=\underset{1}{\overset{2}{\int }}2dt={\left.2t\right|}_1^2=2\left(2-1\right)=2$(m).

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên là s = 1 + 2 = 3 (m).

Bài 9 trang 27 Toán 12 Tập 2: Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L­^{– 1}) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0, thoả mãn hệ thức y'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}y(x) với x ≥ 0. Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}.

a) Xét hàm số f(x) = ln y(x) với x ≥ 0. Hãy tính f'(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L^{– 1}) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}y\left(x\right)dx$. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Lời giải:

a) Ta có f(x) = ln y(x). Lấy đạo hàm hai vế ta được: f'(x) = $\frac{y^{\text{'}}\left(x\right)}{y\left(x\right)}$.

Mà y'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}y(x), suy ra  = – 7 ∙ 10^{– 4}.

Do đó, f'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}.

Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số f'(x).

Ta có $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \left(-7\cdot {10}^{-4}\right)dx=-7\cdot {10}^{-4}x+C$ .

Suy ra f(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + C.

Mà f(x) = ln y(x) nên ln y(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + C. Suy ra y(x) = $e^{-7\cdot {10}^{-4}x+C}$ .

Vì tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}, tức là y(0) = 0,05 nên

e^C = 0,05 ⇔ C = ln0,05.

Vậy f(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + ln0,05.

b) Từ câu a, ta có y(x) = $e^{-7\cdot {10}^{-4}x+\ln 0,05}$ .

Khi đó nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:

$\frac{1}{30-15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}y\left(x\right)dx$$=\frac{1}{15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{e}^{-7\cdot {10}^{-4}x+\ln 0,05}dx=\frac{e^{\ln 0,05}}{15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{\left(e^{-7\cdot {10}^{-4}}\right)}^{x}dx$

$=\frac{1}{300}\cdot {\left.\frac{{\left(e^{-7\cdot {10}^{-4}}\right)}^x}{\ln e^{-7\cdot {10}^{-4}}}\right|}_{15}^{30}=\frac{-100}{21}\left(e^{-7\cdot {10}^{-4}\cdot 30}-e^{-7\cdot {10}^{-4}\cdot 15}\right)\approx 0,049$(mol L^{– 1}).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Tích phân hay khác:

• Giải Toán 12 trang 17
• Giải Toán 12 trang 20
• Giải Toán 12 trang 21
• Giải Toán 12 trang 22
• Giải Toán 12 trang 23
• Giải Toán 12 trang 26

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---