Bài 13 trang 48 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Bài 13 trang 48 Toán 12 Tập 1: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A, B của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA' = 500 m, BB' = 600 m và A'B' = 2 200 m (Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Bài 13 trang 48 Toán 12 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 12

Lời giải:

Đặt A'M = x (m).

Suy ra B'M = A'B' – A'M = 2 200 – x (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2 200.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

AM = $\sqrt{A' A^{2} + A' M^{2}}$ = $\sqrt{500^{2} + x^{2}}$ (m);

BM = $\sqrt{B B'^{2} + B' M^{2}}$ = $\sqrt{600^{2} + (2200 - x^{2})}$ (m).

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

D = AM + BM = $\sqrt{500^{2} + x^{2}}$ + $\sqrt{600^{2} + (2200 - x^{2})}$ (m).

Xét hàm số D(x) = $\sqrt{500^{2} + x^{2}}$ + $\sqrt{600^{2} + (2200 - x^{2})}$ với x ∈ (0; 2 200).

Ta có D'(x) = $\frac{x}{\sqrt{500^{2} + x^{2}}} + \frac{x - 2200}{\sqrt{600^{2} + {(2200 - x)}^{2}}}$ ;

Trên khoảng (0; 2 200), ta thấy D'(x) = 0 khi x = 1 000.

Bảng biến thiên của hàm số D(x) như sau:

Bài 13 trang 48 Toán 12 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 12

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1100 \sqrt{5}$ tại x = 1 000.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là $1100 \sqrt{5}$ m.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác