Bài 12 trang 48 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Bài 12 trang 48 Toán 12 Tập 1: Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Bài 12 trang 48 Toán 12 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 12

Lời giải:

Bài 12 trang 48 Toán 12 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 12

Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên.

Vì ABCD là hình thang cân nên DE = FC và EF = AB = a.

Đặt DE = FC = x (m) (x > 0).

Ta có DC = DE + EF + FC = x + a + x = 2x + a.

Theo định lí Pythagore, ta suy ra AE = $\sqrt{A D^{2} - D E^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a.

Diện tích của hình thang cân ABCD là

S = $\frac{1}{2}$ (AB + CD)AE = $\frac{1}{2}$ (a + 2x + a) $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ = (a + x) $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ (m²).

Xét hàm số S(x) = (a + x) $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ với x ∈ (0; a).

Ta có S'(x) = $\frac{- 2 x^{2} - a x + a^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ ;

S'(x) = 0 ⇔ – 2x² – ax + a² = 0 ⇔ (x + a)(a – 2x) = 0 ⇔ x = – a hoặc x = $\frac{a}{2}$ .

Khi đó trên khoảng (0; a), S'(x) = 0 khi x = $\frac{a}{2}$ .

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Bài 12 trang 48 Toán 12 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 12

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ tại $x = \frac{a}{2}$ .

Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là $\frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (m²).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác