Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 trong Bài 2: Công thức lượng giác Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 21.

Bài 1.7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Lời giải:

Ta có:

+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

+) tan 15° = tan(45° – 30°) = $\frac{\tan 45 ° - \tan 30 °}{1 + \tan 45 ° . \tan 30 °}$ = $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1. \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3}$ .

+) cot 15° = $\frac{1}{\tan 15 °} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ .

Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) $\cos (a + \frac{π}{6})$ , biết $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{π}{2} < a < π$ ;

b) $\tan (a - \frac{π}{4})$ , biết $\cos a = - \frac{1}{3}$ và $π < a < \frac{3 π}{2}$ .

Lời giải:

a) Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos²a = 1 suy ra

cos a = $- \sqrt{1 - \sin^{2} a} = - \sqrt{1 - {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Ta có: $\cos (a + \frac{π}{6})$ $= \cos a \cos \frac{π}{6} - \sin a \sin \frac{π}{6}$

$= (- \frac{\sqrt{6}}{3}) . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2} = \frac{- \sqrt{6} - 1}{2 \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$ .

b) Vì $π < a < \frac{3 π}{2}$ nên sin a < 0, do đó $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} > 0$ .

Mặt khác từ $1 + \tan^{2} a = \frac{1}{\cos^{2} a}$

Suy ra $\tan a = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} a} - 1} = \sqrt{\frac{1}{{(- \frac{1}{3})}^{2}} - 1} = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có: $\tan (a - \frac{π}{4})$ $= \frac{\tan a - \tan \frac{π}{4}}{1 + \tan a \tan \frac{π}{4}}$ $= \frac{2 \sqrt{2} - 1}{1 + 2 \sqrt{2} .1} = \frac{9 - 4 \sqrt{2}}{7}$ .

Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:

a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{π}{2} < a < π$ ;

b) sin a + cos a = $\frac{1}{2}$ và $\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}$ .

Lời giải:

a) Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos²a = 1 suy ra

cos a = $- \sqrt{1 - \sin^{2} a} = - \sqrt{1 - {(\frac{1}{3})}^{2}} = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = $2. \frac{1}{3} . (- \frac{2 \sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ .

$\cos 2 a = 1 - 2 \sin^{2} a = 1 - 2. {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{7}{9}$ .

$\tan 2 a = \frac{\sin 2 a}{\cos 2 a} = \frac{- \frac{4 \sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} = - \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ .

b) Ta có: (sin a + cos a)² = ${(\frac{1}{2})}^{2}$ $\Leftrightarrow \sin^{2} a + \cos^{2} a + 2 \sin a \cos a = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 1 + \sin 2 a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2 a = - \frac{3}{4}$ .

Vì $\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}$ nên $π < 2 a < \frac{3 π}{2}$ , do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin²(2a) + cos² (2a) = 1

Suy ra $\cos 2 a = - \sqrt{1 - \sin^{2} (2 a)} = - \sqrt{1 - {(- \frac{3}{4})}^{2}} = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Do đó, $\tan 2 a = \frac{\sin 2 a}{\cos 2 a} = \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Bài 1.10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \frac{\sin \frac{π}{15} \cos \frac{π}{10} + \sin \frac{π}{10} \cos \frac{π}{15}}{\cos \frac{2 π}{15} \cos \frac{π}{5} - \sin \frac{2 π}{15} \sin \frac{π}{5}}$ ;

b) $B = \sin \frac{π}{32} \cos \frac{π}{32} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$A = \frac{\sin \frac{π}{15} \cos \frac{π}{10} + \sin \frac{π}{10} \cos \frac{π}{15}}{\cos \frac{2 π}{15} \cos \frac{π}{5} - \sin \frac{2 π}{15} \sin \frac{π}{5}}$ $= \frac{\sin \frac{π}{15} \cos \frac{π}{10} + \cos \frac{π}{15} \sin \frac{π}{10}}{\cos \frac{2 π}{15} \cos \frac{π}{5} - \sin \frac{2 π}{15} \sin \frac{π}{5}}$

$= \frac{\sin (\frac{π}{15} + \frac{π}{10})}{\cos (\frac{2 π}{15} + \frac{π}{5})}$ $= \frac{\sin \frac{π}{6}}{\cos \frac{π}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ .

b) Ta có:

$B = \sin \frac{π}{32} \cos \frac{π}{32} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ $= (\frac{1}{2} .2 \sin \frac{π}{32} \cos \frac{π}{32}) \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$

$= \frac{1}{2} \sin (2. \frac{π}{32}) \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ $= \frac{1}{2} \sin \frac{π}{16} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$

$= \frac{1}{4} .2 \sin \frac{π}{16} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ $= \frac{1}{4} \sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8} = \frac{1}{8} .2 \sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8}$

$= \frac{1}{8} \sin \frac{π}{4} = \frac{1}{8} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ .

Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a.

Lời giải:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = $\frac{1}{2}$ [cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= $\frac{1}{2}$ [cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$ [(2cos² b – 1) – (2cos² a – 1)] = cos² b – cos² a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos² b – cos² a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin² b) – (1 – 2sin² a) = 2(sin² a – sin² b)

Do đó, $\frac{1}{2}$ [cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$ . 2(sin² a – sin² b) = sin² a – sin² b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a (đpcm).

Bài 1.12 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 75 °$ ; $\hat{C} = 45 °$ và a = BC = 12 cm.

a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức

$S = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A}$ .

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Từ đó suy ra $b = \frac{a \sin B}{\sin A}$ .

Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ $= \frac{1}{2} a . \frac{a \sin B}{\sin A} . \sin C = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A}$ .

Vậy $S = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A}$ (đpcm).

b) Ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - (\hat{B} + \hat{C}) = 180 ° - (75 ° + 45 °) = 60 °$ .

Ta có: $S = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A} = \frac{12^{2} \sin 75 ° \sin 45 °}{2 \sin 60 °}$

$= \frac{144. \frac{1}{2} [\cos (75 ° - 45 °) - \cos (75 ° + 45 °)]}{2. \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$= \frac{72 (\cos 30 ° - \cos 120 °)}{\sqrt{3}}$ $= \frac{72 (\frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{1}{2}))}{\sqrt{3}} = 36 + 12 \sqrt{3}$ .

Vậy diện tích của tam giác ABC là $S = 36 + 12 \sqrt{3}$ (cm²).

Bài 1.13 trang 21 Toán 11 Tập 1: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

$x_{1} (t) = 2 \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$ (cm),

$x_{2} (t) = 2 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})$ (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Lời giải:

Dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t)

Suy ra x(t) = $2 \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})$ (cm).

Ta có: $2 \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})$

$= 2 [\cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})]$

$= 2.2 \cos \frac{(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})}{2} \cos \frac{(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) - (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})}{2}$

= $4 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12}) \cos \frac{π}{4}$ = $4 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12}) . \frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\sqrt{2} \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})$

Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là x(t) = $2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})$ với biên độ $A = 2 \sqrt{2}$ và pha ban đầu là $φ = - \frac{π}{12}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác