Bài 4.42 trang 103 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.42 trang 103 Toán 11 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA'.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C. Tính tỉ số $\frac{K B^{'}}{K C}$ .

Lời giải:

Bài 4.42 trang 103 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi D là giao điểm của PM và BB'.

Vì D thuộc BB' nên D thuộc mặt phẳng (BCC'B'), N thuộc BC nên N thuộc mặt phẳng (BCC'B'), do đó trong mặt phẳng (BCC'B') nối D với N, đường thẳng DN cắt B'C tại K.

Vì D thuộc PM nên D thuộc mặt phẳng (MNP), do đó DN nằm trong mặt phẳng (MNP).

Mà K thuộc DN nên K thuộc mặt phẳng (MNP).

Do vậy, K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.

b) Xét tam giác A'AB có P, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', AB nên PM là đường trung bình của tam giác A'AB, suy ra PM // A'B hay PD // A'B.

Lại có A'P // BD (vì AA' // BB' do nó là các cạnh bên của hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C').

Do đó, tứ giác A'PDB là hình bình hành. Suy ra A'P = BD.

Mà P là trung điểm của AA' nên A'P = $\frac{1}{2}$ AA', suy ra BD = $\frac{1}{2}$ AA'.

Lại có AA' = BB' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác).

Từ đó suy ra BD = $\frac{1}{2}$ BB' (1) ⇒ $\frac{B D}{B^{'} D} = \frac{1}{3}$ (2).

Gọi E là trung điểm của B'C. Vì N là trung điểm của BC, do đó EN là đường trung bình của tam giác BB'C, suy ra EN // BB' và EN = $\frac{1}{2}$ BB' (3).

Từ (1) và (3) suy ra EN = BD (4).

Từ (2) và (4) suy ra $\frac{E N}{B^{'} D} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác KDB' có EN // B'D (vì EN // BB'), theo định lí Thalés ta có:

$\frac{K E}{K B^{'}} = \frac{E N}{B^{'} D} = \frac{1}{3}$ .

Suy ra KE = $\frac{1}{3}$ KB' ⇒ KE = $\frac{1}{2}$ EB'.

Mà EB' = EC (do E là trung điểm của B'C).

Do đó, KE = $\frac{1}{2} E C$ . Suy ra K là trung điểm của EC. Khi đó KC = $\frac{1}{2} E C$ .

Mà EC = $\frac{1}{2}$ B'C. Suy ra KC = $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} B^{'} C = \frac{1}{4} B^{'} C$ . Từ đó suy ra KC = $\frac{1}{3}$ KB'.

Vậy $\frac{K B^{'}}{K C} = 3$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 4 hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài tập cuối chương 4:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác