Giải Toán 11 trang 40 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 40 Tập 1 trong Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 40.

Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$;

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

d) 2cos3x + 5 = 3;

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$;

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx).

Lời giải:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=k$\pi$ và x=$\frac{5\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff$ sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ và x = $\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$ = cos$\frac{\pi }{6}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$+k4$\pi$ và x=$-\frac{5\pi }{6}+k4\pi$ với k ∈ ℤ.

d) 2cos3x + 5 = 3

$\iff$ cos3x = ‒1

$\iff$ 3x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\iff$ x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$(k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$

$\iff$ tanx = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff$ tanx = tan$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff$ x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ với k ∈ ℤ.

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx)

$\iff$ cotx - 3 = $\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cotx

$\iff$ (1+$\sqrt{3}$)cotx = $\sqrt{3}$+3

$\iff$ cotx = $\frac{\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)}{1+\sqrt{3}}$

$\iff$ cotx = $\sqrt{3}$

$\iff$ cotx = cot$\frac{\pi }{6}$

$\iff$ x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.

Bài 2 trang 40 Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) sin$\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sinx;

b) sin2x = cos3x;

c) ${\cos }^{2}2x={\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ .

Lời giải:

a) sin$\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sinx

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{4}$ + k2π và $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

b) sin2x = cos3x

$\iff$cos$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$ = cos3x

$\iff$ cos3x = cos$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}$ và $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với k ∈ ℤ.

c) ${\cos }^{2}2x={\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ và x = -$\frac{\pi }{18}$+k$\frac{\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

Bài 3 trang 40 Toán 11 Tập 1: Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 3sinx + 2 = 0 trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ ;

b) cosx = 0 trên đoạn .

Lời giải:

a) Ta có: 3sinx + 2 = 0

$\iff$sinx = -$\frac{2}{3}$.

Đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ tại 5 điểm A, B, C, D, E.

Vậy phương trình 3sinx + 2 = 0 có 5 nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$.

b) Đường thẳng y = 0 (trục Ox) và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn tại 6 điểm M, N, P, Q, I, K.

Vậy phương trình cosx = 0 có 6 nghiệm trên đoạn .

Bài 4 trang 40 Toán 11 Tập 1: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số d(t) = 3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020)

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Lời giải:

a) Để thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 = 12

$\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$ = 0

$\iff$ $\frac{\pi }{182}$(t-80) = k$\pi$ (k$\in$Z)

$\iff$ t - 80 = 182k (k$\in$Z)

$\iff$ t = 80+182k (k$\in$Z).

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

Với k = 0 thì t = 80 + 182.0 = 80;

Với k = 1 thì t = 80 + 182.1 = 262.

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

b) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 = 9

$\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$ = -1

$\iff$ $\frac{\pi }{182}$(t-80) = -$\frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$ (k$\in$Z)

$\iff$ t - 80 = -91+364k (k$\in$Z)

$\iff$ t = -11+364k (k$\in$Z)

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

Với k = 1 thì t = ‒11 + 364.1 = 353.

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 = 15

$\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$ = 1

$\iff$ $\frac{\pi }{182}$(t-80) = $\frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$ (k$\in$Z)

$\iff$ t - 80 = 91+364k (k$\in$Z)

$\iff$ t = 171+364k (k$\in$Z)

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

Với k = 0 thì t = 171 + 364.0 = 171.

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.

Bài 5 trang 40 Toán 11 Tập 1: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với d = 3cos$\left(\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right)$, trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m, 0 m?

Lời giải:

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó

Vậy $t\in \left(\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;\mathrm{...}\right)$ (giây) thì khoảng cách h là 3 m.

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}, khi đó $t\in${$\frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\mathrm{...}$}.

Vậy $t\in${$\frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\mathrm{...}$} (giây) thì khoảng cách h là 0 m.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản hay khác:

• Giải Toán 11 trang 32

• Giải Toán 11 trang 33

• Giải Toán 11 trang 35

• Giải Toán 11 trang 37

• Giải Toán 11 trang 38

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• Toán 11 Bài 1: Dãy số

• Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

• Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

• Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---