Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 Tập 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Lời giải:

Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi M là trung điểm của BC, O là trọng tâm tam giác BCD.

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên BCD là tam giác đều.

Mà O là trọng tâm tam giác BCD nên O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do đó AO ⊥ (BCD).

Xét tam giác đều BCD có: DM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC) cũng đồng thời là đường cao của tam giác nên DM ⊥ BC.

Do M là trung điểm của BC nên $M C = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2} .$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DMC vuông tại M (do DM ⊥ BC) có:

DC² = DM² + MC²

Do đó $D M = \sqrt{D C^{2} - M C^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vì O là trọng tâm tam giác BCD nên $O D = \frac{2}{3} D M = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Do AO ⊥ (BCD) và DO ⊂ (BCD) nên AO ⊥ DO, do đó tam giác ADO vuông tại O.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADO vuông tại O có:

AD² = AO² + DO²

Suy ra $A O = \sqrt{A D^{2} - D O^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{2 a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$

Diện tích tam giác BCD đều có đường cao DM là:

$S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} . D M . B C = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (đvdt).

Thể tích của khối tứ diện đều ABCD cạnh a có chiều cao $A O = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ và diện tích đáy $S_{Δ B C D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ là:

$V_{A B C D} = \frac{1}{3} S_{Δ B C D} . A O = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ (đvtt)

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác