Luyện tập 4 trang 112 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Luyện tập 4 trang 112 Toán 11 Tập 2: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 112 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi H là trung điểm của AB nên $A H = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2} .$

Vì hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB nên A’H ⊥ (ABC).

Ta có: A’H ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên A’H ⊥ AB.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác A’AH vuông tại H (do A’H ⊥ AB) có:

A’A² = A’H² + AH²

Do đó $A^{'} H = \sqrt{A^{'} A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xét ∆ABC đều có: CH là đường trung tuyến (do H là trung điểm của AB) nên CH cũng là đường cao của tam giác ABC hay CH ⊥ AB.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACH vuông tại H (do CH ⊥ AB) có:

AC² = AH² + CH²

Do đó $C H = \sqrt{A C^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Khi đó, diện tích tam giác ABC có đường cao $C H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} C H . A B = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (đvdt)

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao $A^{'} H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và diện tích đáy $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ là:

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A^{'} H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a^{3}}{8} (đ v t t)$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác