HĐ2 trang 49 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải sgk Toán 10 Bài 22: Ba đường conic

HĐ2 trang 49 Toán 10 Tập 2: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.21).

HĐ2 trang 49 Toán 10 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 10

a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

$\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ . (1)

Chú ý. Người ta có thể biến đổi (1) về dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ .

Lời giải:

a) Vì F₁F₂= 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂.

Do đó ta có: F₁O = F₂O = 2c : 2 = c.

Quan sát hình ta thấy, điểm F₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F₁(– c; 0).

Điểm F₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F₂(c; 0).

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

b) +) Giả sử M(x; y) thuộc elip (E) ta cần chứng minh: $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$

Thật vậy, M thuộc elip (E) nên: MF₁+ MF₂= 2a.

Lại có: MF₁ = $\sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}}$ ;

MF₂ = $\sqrt{{(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}$ .

⇒ MF₁+ MF₂ = $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ .

Vậy $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ .

+) Giả sử $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ , ta cần chứng minh M thuộc elip (E).

Thật vậy: $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ nên: MF₁+ MF₂= 2a.

Vậy M thuộc elip (E).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 10 Bài 22: Ba đường conic:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác