Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Lý thuyết Tọa độ của vectơ

I. Tọa độ của một điểm

Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau (Hình 3):

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a ; b).

Ví dụ: Xác định tọa độ của điểm B trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm ứng với số –3. Số –3 là hoành độ của điểm B.

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm ứng với số 3. Số 3 là tung độ của điểm M.

Khi đó, cặp số (–3; 3) là tọa độ của điểm B.

Vậy điểm B có tọa độ là B(–3; 3).

II. Tọa độ của một vectơ

Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.

Nếu $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{OM}$ (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ (Hình 4).

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

+ $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) ⇔ M(a ; b).

+ Vectơ $\overrightarrow{i}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (1; 0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox.

Vectơ $\overrightarrow{j}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (0; 1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy (Hình 4).

Ví dụ: Tìm tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{ON}$ trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm M có tọa độ là (–2 ; 4)

Suy ra $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4).

Điểm N có tọa độ là (2 ; –1)

Suy ra $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).

Vậy $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4) và $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).

Nhận xét:

– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$, ta xác định được duy nhất một điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.

– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.

– Nếu $\overrightarrow{u}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{u}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{u}$(a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Ví dụ: Tìm tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{u}$ trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

Ta xác định vec tơ $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{OA}$ như hình sau:

Ta thấy điểm A(2 ; 2) nên $\overrightarrow{OA}$ = (2 ; 2).

Suy ra $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).

Vậy $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu $\overrightarrow{u}$ = (a ; b) thì $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$. Ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$ thì $\overrightarrow{u}$ = (a ; b).

Chú ý: Với $\overrightarrow{a}$ = (x₁ ; y₁) và $\overrightarrow{b}$ = (x₂ ; y₂), ta có $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ ⇔

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 3) và vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3).

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3) nên $\overrightarrow{u}$ = 1$\overrightarrow{i}$ + (– 3)$\overrightarrow{j}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$

Vậy $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$.

b) Vì điểm M có tọa độ là (2 ; 3) nên $\overrightarrow{OM}$ = (2 ; 3).

Do đó: $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.

Vậy $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.

III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vec tơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B).

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (x_B – x_A ; y_B – y_A).

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; –4) và B(1; 5). Hãy tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (1 – 2; 5 – (–4)) = (–1 ; 9).

Vậy $\overrightarrow{AB}$ = (–1 ; 9).

Bài tập Tọa độ của vectơ

Bài 1: Tìm tọa độ của các vec tơ sau:

a) $\overrightarrow{a}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$;

b) $\overrightarrow{b}$ = –$\overrightarrow{j}$;

c) $\overrightarrow{c}$ = $\sqrt{2}$$\overrightarrow{i}$ – 1,5$\overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{a}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 1$\overrightarrow{j}$

Suy ra $\overrightarrow{a}$ = (2 ; 1).

Vậy $\overrightarrow{a}$ = (2 ; 1).

b) Ta có $\overrightarrow{b}$ = –$\overrightarrow{j}$ = 0$\overrightarrow{i}$ + (–1)$\overrightarrow{j}$

Suy ra $\overrightarrow{b}$ = (0 ; –1).

Vậy $\overrightarrow{b}$ = (0 ; –1).

c) Ta có $\overrightarrow{c}$ = $\sqrt{2}\overrightarrow{i}$ – 1,5$\overrightarrow{j}$ = $\sqrt{2}\overrightarrow{i}$ + (– 1,5)$\overrightarrow{j}$.

Suy ra $\overrightarrow{c}$ = ($\sqrt{2}$; – 1,5).

Vậy $\overrightarrow{c}$ = ($\sqrt{2}$; – 1,5).

Bài 2: Tìm số thực m và n sao cho hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ = (m; –4) và $\overrightarrow{b}$ = (–1; 3m + n) bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ ⇔

Vậy để $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ thì m = –1 và n = –1.

Bài 3: Cho 3 điểm A(0; 2), B(–1; 3), C(2; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm D có tọa độ là (x_D ; y_D)

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (–1 – 0 ; 3 – 2) = (–1 ; 1)

$\overrightarrow{DC}$ = (2 – x_D ; 5 – y_D).

Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.

$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ ⇔

Suy ra điểm D có tọa độ là (3 ; 4).

Vậy để ABCD là hình bình hành thì D(3 ; 4).

Học tốt Tọa độ của vectơ

Các bài học để học tốt Tọa độ của vectơ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

• Lý thuyết Toán 10 Bài 6: Ba đường conic

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---