Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Lý thuyết Khái niệm vectơ

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ được vectơ $\overrightarrow{AB}$ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Đối với vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta gọi:

- Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

- Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$, kí hiệu là |$\overrightarrow{AB}$|.

Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ được kí hiệu là |$\overrightarrow{a}$|

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có độ dài là 5, ta có thể viết như sau: |$\overrightarrow{AB}$| = 5.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Định nghĩa:

- Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ:

Trên hình vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{EF}$ cùng phương với nhau.

Nhận xét: Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ:

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$cùng hướng. Hai vectơ $\overrightarrow{CD}$và $\overrightarrow{EF}$cùng phương nhưng ngược hướng nhau. Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{CD}$và $\overrightarrow{EF}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ:Cho hình bình hành ABCD. Liệt kê các cặp vectơ cùng hướng và ngược hướng trong hình bình hành ABCD.

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: AB // DC và AD // BC.

Các cặp vectơ cùng hướng: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{CB}$.

Các cặp vectơ ngược hướng: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CB}$và $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{BC}$

3. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$

Nhận xét:

- Hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

- Khi cho trước vectơ $\overrightarrow{a}$và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{a}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, khi đó:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{DC}$; $\overrightarrow{AD}$và $\overrightarrow{BC}$là hai cặp vectơ cùng hướng nên

4. Vectơ-không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là $\overrightarrow{AA}$ và được gọi là vectơ – không.

Định nghĩa: Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

Ta quy ước $\overrightarrow{0}$cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ và |$\overrightarrow{0}$|= 0.

Nhận xét: Hai điểm A, B trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$= $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{BB}$là vectơ – không và | $\overrightarrow{BB}$|= 0.

5. Biểu thị một số đại lượng có hướng bằng vectơ

Trong vật lý, một số đại lượng như trọng lực, vận tốc,… là đại lượng có hướng. Người ta dùng vectơ để biểu thị các đại lượng đó.

Ví dụ: Chọn trục tọa độ là trục Oy có chiều hướng lên trên, biểu điễn vectơ lực $\overrightarrow{F}$ có điểm đặt tại gốc O trong hai trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{F}$ có phương thẳng đứng chiều hướng xuống

b) $\overrightarrow{F}$ có phương thẳng đứng hướng lên trên

Ta thấy vectơ lực $\overrightarrow{F}$ở hai trường hợp cùng phương nhưng ngược hướng với nhau.

Bài tập Khái niệm vectơ

Bài 1:Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.

a) Có bao nhiêu vectơ khác không, cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OB}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác?

b) Có bao nhiêu vectơ khác không, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OB}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác?

Hướng dẫn giải:

a) Do ABCDEF là lục giác đều tâm O

Suy ra: BE // CD // AF

Do đó: OB // CD // AF

Do đó các vectơ cùng phương với vecto $\overrightarrow{OB}$ mà có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lục giác là các vectơ: $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{FA}$.

Vậy có 6 vectơ khác không, cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OB}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác.

b) Các vectơ khác không, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OB}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: $\overrightarrow{EB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{FA}$.

Vậy có 3 vectơ khác không, cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OB}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác.

Bài 2:Cho điểm A và vectơ $\overrightarrow{a}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Xác định điểm M sao cho vectơ $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ là đường thẳng Δ.

TH1: Điểm A thuộc đường thẳng Δ.

Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng Δ.

Khi đó đường thẳng AM nằm trên đường thẳng Δ.

⟹ Vecto $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với vecto $\overrightarrow{a}$.

Vậy M thuộc đường thẳng Δ với Δ đi qua điểm A và Δ là giá của vecto $\overrightarrow{a}$.

TH2: Điểm A không thuộc đường thẳng Δ.

+ Qua A, dựng đường thẳng m song song với đường thẳng Δ.

+ Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng m, khi đó AM // Δ.

Suy ra vecto $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với vecto .

Vậy điểm M thuộc đường thẳng m đi qua A và m // Δ thì vecto $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với vecto $\overrightarrow{a}$.

Bài 3:Cho hình vẽ sau. Hãy liệt kê các cặp vectơ cùng hướng và các cặp vectơ ngược hướng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

- Giá của vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{x}$song song với nhau, đồng thời hai vecto cùng chiều nên $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{x}$là hai vecto cùng hướng.

- Giá của vecto $\overrightarrow{c}$và $\overrightarrow{z}$song song với nhau, đồng thời hai vecto cùng chiều từ trái sang phải nên $\overrightarrow{c}$và $\overrightarrow{z}$là hai vecto cùng hướng.

- Vectơ $\overrightarrow{b}$và $\stackrel{\rightharpoonup }{y}$song song với nhau nhưng ngược chiều nhau nên $\overrightarrow{b}$và $\overrightarrow{y}$là hai vecto ngược hướng.

Bài 4:Trên hình vẽ sau cho các đoạn thẳng AB = 9, CD = 7, MN = 9, PQ = 7, HK = 7. Các vectơ nào bằng nhau?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

- Vecto $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{MN}$có giá song song và cùng chiều nên hai vecto $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng, đồng thời AB = MN = 9 nên $\overrightarrow{AB}$= $\overrightarrow{MN}$.

- Vecto $\overrightarrow{CD}$và $\overrightarrow{HK}$có giá song song và cùng chiều nên hai vecto $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{HK}$ cùng hướng, mà HK = CD = 7 nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{HK}$.

Học tốt Khái niệm vectơ

Các bài học để học tốt Khái niệm vectơ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 4

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---