Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển (siêu hay)

Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

1. Tổng hợp lý thuyết tính tổng các hệ số trong khai triển

Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

 (a + b)ⁿ =  

2. Các công thức tính tổng các hệ số trong khai triển

Phương pháp tìm tổng các hệ số trong khai triển

Xét khai triển tổng quát: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

(ax + by)ⁿ =  

 =  C_n⁰aⁿxⁿ + C_n¹a^n-1b.x^n-1y + C_n²a^n-2b².x^n-2y² + ...+C_n^n-1ab^n-1.xy^n-1 + C_nⁿbⁿyⁿ

Tổng các hệ số trong khai triển là: S = C_n⁰aⁿ + C_n¹a^n-1b + C_n²a^n-2b² + ...+C_n^n-1ab^n-1 + C_nⁿbⁿ

Ta chọn biến x = 1; y = 1 thay vào khai triển:  S = (a + b)ⁿ

(Chú ý: tùy thuộc vào khai triển đề bài cho, có thể xét khai triển với chỉ 1 biến x)

3. Ví dụ minh họa tính tổng các hệ số trong khai triển

Ví dụ 1: Trong khai triển (1 – 3x)²⁰²¹ = a₀ + a₁x¹ + ... + a₂₀₂₁x²⁰²¹. Tổng hệ số của: a₀ + a₁  + ... +  a₂₀₂₁

Lời giải

Xét khai triển: 

(1 - 3x)²⁰²¹ = C₂₀₂₁⁰ + C₂₀₂₁¹(-3x) + C₂₀₂₁²(-3x)² + C₂₀₂₁³(-3x)³ + ... + C₂₀₂₁²⁰²¹(-3x)²⁰²¹

 ⇔ (1 - 3x)²⁰²¹ = C₂₀₂₁⁰ - 3C₂₀₂₁¹x + 3²C₂₀₂₁²x² - 3³C₂₀₂₁³x³ + ... - 3²⁰²¹C₂₀₂₁²⁰²¹x²⁰²¹

Tổng các hệ số của khai triển là  

S = a₀ + a₁ + a₂ +...+ a₂₀ = C₂₀₂₁⁰ - 3₂₀₂₁¹ + 3²C₂₀₂₁² - 3³C₂₀₂₁³ + ... - 3²⁰²¹C₂₀₂₁²⁰²¹

Chọn x = 1, ta có  S = (1 - 3.1)²⁰²¹ = (-2)²⁰²¹ = -2²⁰²¹

Ví dụ 2: Tính tổng:  S = C₅₀⁰ + 3C₅₀¹.x + 3²C₅₀² + ...+ 3⁵⁰C₅₀⁵⁰

Lời giải

Xét khai triển:  (1 + x)⁵⁰ = C₅₀⁰ + C₅₀¹.x + C₅₀².x²  + C₅₀³.x³ + ...+ C₅₀⁵⁰.x⁵⁰

Chọn x = 3, ta có (1 + 3)⁵⁰ = C₅₀⁰ + C₅₀¹.3 + C₅₀².3²  + C₅₀³.3³ + ... + C₅₀⁵⁰.3⁵⁰ ⇔ S = 4⁵⁰

Vậy S = 4⁵⁰.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức tìm hệ số trong khai triển

• Công thức tìm số hạng trong khai triển

• Công thức tính xác suất

• Công thức hoán vị

• Công thức chỉnh hợp

---