Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

1. Lí thuyết tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

-1 ≤ sin[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ sin²[u(x)] ≤ 1;  

-1 ≤ cos[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ cos²[u(x)] ≤ 1;  

b) Dạng y = asinx + bcosx + c  

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c =   

⇔ y = .sin(x + α ) + c với α thỏa mãn

Bước 2: Đánh giá -1 ≤ sin[x + α] ≤ 1 ∀x ∈ R 

2. Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

a) Dạng y = asin[u(x)] + b hoặc y = acos[u(x)] + b

Ta có: –|a| + b ≤ y ≤ |a| + b 

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b.

b) Dạng y = asin²[u(x)] + b ; y = a|sin[u(x)]| + b; 

Dạng y = acos²[u(x)] + b; y = a|cos[u(x)]| + b (với a khác 0)

+ Trường hợp 1: a > 0. Ta có: b ≤ y ≤ a + b  .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là b và giá trị lớn nhất là a + b.

+ Trường hợp 2: a < 0. Ta có: a + b ≤ y ≤ b .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là a + b và giá trị lớn nhất là b.

c) Dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có:   

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là  và giá trị lớn nhất là 

                           

3. Ví dụ minh họa tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:

a) y = 3sin(2x+1) – 7

b) y = 

Lời giải

a) y = 3sin(2x+1) – 7

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: -3 - 7 ≤ y ≤ 3 - 7 ⇔ -10 ≤ y ≤ -4   

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có -1 ≤ sin( 2x + 1 ) ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -3 ≤ 3sin( 2x + 1 ) ≤ 3 ∀x ∈ R  

⇔ -10 ≤ sin( 2x + 1 ) -7 ≤ -4 ∀x ∈ R

⇔ -10 ≤ y ≤ -4 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là -4 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -10.

b)  

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: -2 + 1 ≤ y ≤ 1 ⇔ -1 ≤ y ≤ 1 .

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có 0 ≤ cos² ( x +  ) ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ 0 ≤ 2cos² ( x +  ) ≤ 2 ∀x ∈ R

⇔ -2 ≤ -2cos² ( x +  ) ≤ 0 ∀x ∈ R

⇔ -1 ≤ -2cos² ( x +  ) + 1 ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -1 ≤ y ≤ 1

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 5sin2x – 12cosx + 2

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:   .

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: y = 5sin2x – 12cosx + 2 

 

Ta có -1 ≤ sin(2x - α) ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -13 ≤ 13sin(2x - α) ≤ 13 ∀x ∈ R  

⇔ -11 ≤ 13sin(2x - α) + 2 ≤ 15 ∀x ∈ R

⇔ -11 ≤ y ≤ 15 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 15 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -11.

4. Bài tập tự luyện tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số  lần lượt là:

A. 4 và 7                    B. -2 và 7                   C. 5 và 9                         D. -2 và 2

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là:

A. 3 và 10                  B. 1 và 11                  C. 6 và 10                       D. -1 và 13

Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2|sinx| lần lượt là

A. 1 và 0                    B. 3 và 2                    C. 3 và -2                       D. 3 và 1

Đáp án: 1 – C, 2 – B, 3 – D 

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

• Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

• Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

---