Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn (siêu hay)

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

1. Tổng hợp lý thuyết khai triển nhị thức Niu-tơn

a) Định nghĩa: 

   

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu - tơn (a + b)ⁿ có các tính chất sau

- Gồm có n + 1 số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: C_n^k = C_n^n-k  

- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: C_n^k + C_n^k+1 = C_{n + 1}^k+1 

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: T_k+1 = C_n^k a^n-k b^k 

Ví dụ: Số hạng thứ nhất T₁ = T₀₊₁ = C_n⁰aⁿ , số hạng thứ k: T_k = T_(k-1)+1 = C_n^k-1 a^n-k-1 b^k-1 

c) Hệ quả:

Ta có : (1 + x)ⁿ = C_n⁰ + xC_n¹ + x²C_n² + ... + xⁿC_nⁿ

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

 C_n⁰ + C_n¹ +... + C_nⁿ = 2ⁿ 

C_n⁰ - C_n¹ + C_n² - ... + (-1)ⁿC_nⁿ = 0

2. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

   

3. Ví dụ minh họa khai triển nhị thức Niu-tơn

Ví dụ 1: Khai triển (1 – 3x)⁶ thành tổng các đơn thức.

Lời giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

(1 – 3x)⁶

= C₆⁰.1⁶ + C₆¹.1⁵(-3x)¹ + C₆².1⁴(-3x)² + C₆³.1³(-3x)³ + C₆⁴.1²(-3x)⁴ + C₆⁵.1¹(-3x)⁵ + C₆⁶.(-3x)⁶

= 1 – 18x + 135x² – 540x³ + 1215x⁴ – 1458x⁵ + 729x⁶.

Ví dụ 2: Khai triển (x + 2y)⁵ thành tổng các đơn thức.

Lời giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

(x + 2y)⁵

= C₅⁰x⁵ + C₅¹x⁴ (2y) + C₅²x³ (2y)² + C₅³x² (2y)³ + C₅⁴x(2y)⁴ + C₅⁵(2y)⁵ 

= x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y⁵.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

• Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển

• Công thức tìm hệ số trong khai triển

• Công thức tìm số hạng trong khai triển

• Công thức tính xác suất

• Công thức hoán vị

---