Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác | Toán lớp 11
Với loạt bài Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.
Bài viết Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác gồm 4 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác Toán 11.
1. Lý thuyết
Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:
Cung lượng giác ,k ∈ Z được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm cách nhau đúng góc )
Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung α .
Bước 2: Xác định m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc . (Hoặc chia đường tròn thành m phần bằng nhau, bắt đầu chia từ điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).
2. Công thức:
Sau khi biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác
* Ta hợp các nghiệm bằng cách:
- Tìm ra các điểm cách đều nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng là β.
- Công thức biểu diễn các điểm đó là x = α + kβ (k ∈ Z) với α là 1 cung bất kì của 1 điểm trong các điểm đó.
* Loại nghiệm:
- Ta bỏ đi những điểm không xác định và tìm công thức biểu diễn các điểm còn lại như phần hợp nghiệm.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hợp các họ nghiệm sau:
Lời giải
a)
Bước 1: Biểu diễn x = kπ = 0 + kπ (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.
- Điểm còn lại cách M1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.
Bước 2: Biểu điễn trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm N1 biểu diễn cung .
- Điểm còn lại cách N1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ.
Bước 3: Hợp nghiệm
Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc
Công thức biểu diễn 4 điểm đó là:
b)
Bước 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm M1 biểu diễn cung .
- Điểm còn lại cách M1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.
Bước 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm N1 biểu diễn cung .
- Điểm còn lại cách N1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ.
Bước 3: Hợp nghiệm
Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc và chọn điểm bắt đầu là .
Công thức biểu diễn 4 điểm đó là:
c)
Bước 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)
- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.
- Điểm còn lại cách M1 một góc (hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4; M5; M6 trên hình vẽ.
Bước 2: Biểu diễn điểm x ≠ π + k2π (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm N biểu diễn cung π.
- Các điểm còn lại cách N đúng 2π (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn x ≠ π + k2π (k ∈ Z) trên đường tròn.
Bước 3: Loại nghiệm
Ta thấy điểm M4 trùng với N. Nên ta chỉ nhận các điểm M1; M2; M3; M5; M6.
- Điểm M2; M5 cách nhau một góc π và chọn điểm bắt đầu là M2 có góc lượng giác là . Công thức biểu diễn hai điểm M2; M5 là x = + kπ(k ∈ Z).
- Điểm M3; M6 cách nhau một góc và chọn điểm bắt đầu là M6 có góc lượng giác là -. Công thức biểu diễn hai điểm M3; M6 là x = - + kπ(k ∈ Z).
- Điểm M1: công thức biểu diễn là x = 0 + k2π(k ∈ Z)..
Vậy các họ nghiệm thu được là x =2kπ(k ∈ Z)
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) sin2x – 2sinx = 0
b) tan3x = tanx
Lời giải
a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0
⇔ 2sinxcosx - 2sinx = 0
⇔ 2sinx (cosx - 1) = 0
Ta kết hợp nghiệm:
Bước 1: Biểu diễn x = kπ = 0 + kπ (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.
- Điểm còn lại cách M1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.
Bước 2: Biểu điễn x = k2π(k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm N biểu diễn cung 0.
- Các điểm còn lại cách N đúng 2π (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn x = k2π(k ∈ Z) trên đường tròn.
Bước 3: Kết hợp nghiệm
Ta thấy hai họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy họ nghiệm x = kπ(k ∈ Z)
Kết luận: Họ nghiệm của phương trình là x = kπ(k ∈ Z)
b) tan3x = tanx
Điều kiện xác định:
Ta có: tan3x = tanx
⇔ 3x = x + kπ
⇔ 2x = kπ
⇔ x = k(k ∈ Z)
Kết hợp với điều kiện xác định như sau:
Bước 1: Biểu diễn x = k = (k ∈ Z) trên đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn)
- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.
- Điểm còn lại cách M1 một góc (hoặc chia đường tròn thành 4 phần, bắt đầu chia từ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4 trên hình vẽ.
Bước 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)
- Xác định điểm N1 biểu diễn cung
- Điểm còn lại cách N1 một góc (hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm N1) là các điểm N2; N3; N4; N5; N6 trên hình vẽ.
Bước 3: Biểu điễn trên đường tròn lượng giác.
- Xác định điểm P1 biểu diễn cung .
- Điểm còn lại cách P1 một góc π (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm P2 trên hình vẽ.
Bước 4: Loại nghiệm
Nghiệm của phương trình là các điểm M. Các điểm không thỏa mãn điều kiện xác định là các điểm N, P.
Theo hình vẽ ta chỉ lấy được nghiệm là biểu diễn bởi điểm M1 và M3.
Điểm M1; M3 cách nhau một góc π và chọn điểm bắt đầu là M1 có góc lượng giác là 0. Công thức biểu diễn hai điểm M1; M3 là x = kπ (k ∈ Z) hay x = kπ;k ∈ Z .
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = kπ;k ∈ Z .
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Phương trình có nghiệm là:
A. kπ B. k2π C. D. (2k + 1)π
Câu 2. Cho phương trình . Các nghiệm của phương trình là:
Câu 3. Phương trình lượng giác có nghiệm là:
Đáp án: 1 – B, 2 – B, 3 – B
Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12