Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Tia AI cắt (O) tại X (khác A)

Trang trước Trang sau

Bài 9.19 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Tia AI cắt (O) tại X (khác A). Chứng minh rằng X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Lời giải:

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC nên

$\hat{I A B} = \frac{\hat{B A C}}{2}; \hat{I B A} = \hat{I B C} = \frac{\hat{A B C}}{2}$

Do đó $\hat{B I X} = 180 ° - \hat{B I A} = \hat{I A B} + \hat{I B A} = \frac{\hat{B A C}}{2} + \frac{\hat{A B C}}{2}$ . (1)

Mặt khác vì $\hat{C B X}$ và $\hat{C A X}$ là các góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung $\overset{⏜}{C X}$ nên $\hat{C B X} = \hat{C A X}$

Do đó $\hat{I B X} = \hat{I B C} + \hat{C B X} = \frac{\hat{A B C}}{2} + \hat{C A X} = \frac{\hat{A B C}}{2} + \frac{\hat{C A B}}{2}$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{B I X} = \hat{I B X}$ hay tam giác IBX cân tại X. Do đó XI = XB.

Tương tự ta có XI = IC.

Vậy X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC (đpcm).

Lời giải SBT Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác