Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M

Trang trước Trang sau

Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ, CM và NP (Hình 60). Chứng minh:

a) DE song song với AC;

b) DE = DF.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M

a) Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà E ∈ MQ nên EQ // NP.

Xét ∆BNP với EQ // NP, ta có $\frac{B E}{E N} = \frac{B Q}{Q P}$ (định lí Thalès) (1)

MNPQ là hình vuông nên MQ ⊥ BC, do đó tam giác BQM vuông tại Q.

Xét ∆BQM (vuông tại Q) và ∆BAC (vuông tại A) có: $\hat{B}$ là góc chung

Do đó ∆BQM ᔕ ∆BAC (g.g).

Suy ra $\frac{B Q}{B A} = \frac{Q M}{A C}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay $\frac{B Q}{Q M} = \frac{A B}{A C},$ mà QM = QP (do MNPQ là hình vuông)

Do đó $\frac{B Q}{Q P} = \frac{A B}{A C}$ (2)

Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (tính chất đường phân giác) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $\frac{B E}{E N} = \frac{D B}{D C}$

Xét ∆NBC có $\frac{B E}{E N} = \frac{B D}{D C}$ nên DE // NC (định lí Thalès đảo) hay DE // AC.

b) Do DE // AC (câu a) nên $\frac{D E}{C N} = \frac{B D}{B C}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Do đó $D E = \frac{B D}{B C} \cdot C N .$

• Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà F ∈ NP nên FP // MQ.

Xét ∆MQB với FP // MQ, ta có $\frac{C F}{F M} = \frac{C P}{P Q}$ (định lí Thalès) (4)

Xét ∆CPN (vuông tại P) và ∆CAB (vuông tại A) có: $\hat{C}$ là góc chung

Do đó ∆CPN ᔕ ∆CAB (g.g).

Suy ra $\frac{C P}{C A} = \frac{P N}{A B}$ (tỉ số đồng dạng) hay $\frac{C P}{P N} = \frac{A C}{A B}$

Mà PQ = PN (do MNPQ là hình vuông) nên $\frac{C P}{P Q} = \frac{A C}{A B}$ (5)

Từ $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ ta có $\frac{A C}{A B} = \frac{D C}{D B}$ (6)

Từ (4), (5), (6) ta có $\frac{C F}{F M} = \frac{C D}{D B}$

Xét ∆MBC có $\frac{C F}{F M} = \frac{C D}{D B}$ nên DF // BM (định lí Thalès đảo) hay DF // AB.

Suy ra $\frac{D F}{B M} = \frac{C D}{C B}$ (hệ quả của định lí Thalès), nên $D F = \frac{C D}{C B} \cdot B M$ .

Mặt khác, ∆ABC với MN // BC (cùng vuông góc với MQ), ta có $\frac{B M}{A B} = \frac{C N}{A C}$ (hệ quả của định lí Thalès), do đó $\frac{C N}{B M} = \frac{A C}{A B}$

Lại có $\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C}$ nên $\frac{D E}{D F} = \frac{\frac{B D}{B C} \cdot C N}{\frac{C D}{C B} \cdot B M}$ = $\frac{B D}{C D} \cdot \frac{C N}{B M}$ = $\frac{A B}{A C} \cdot \frac{A C}{A B} = 1.$

Suy ra DE = DF.

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác