Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30

Trang trước Trang sau

Bài 4.30 trang 62 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Lời giải:

Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\hat{A O B} = \hat{C O D}$ (hai góc đối đỉnh)

OB = OD (giả thiết)

Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).

Suy ra AB = DC và $\hat{B A O} = \hat{O C D}$ hay $\hat{B A C} = \hat{A C D}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).

Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\hat{A O D} = \hat{B O C}$ (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (giả thiết)

Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).

Suy ra AD = BC và $\hat{O A D} = \hat{O C B}$ hay $\hat{C A D} = \hat{A C B}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.

Do đó, AC = BD.

Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:

AB = DC (chứng minh trên)

AD: cạnh chung

BD = AC (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra $\hat{B A D} = \hat{C D A}$ .

Lại có: $\hat{B A D} + \hat{C D A} = 180 °$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Do đó: $\hat{B A D} = \hat{C D A} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ .

Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Kết nối tri thức khác