Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, ∠ADE = ∠BCE. Chứng minh rằng

Trang trước Trang sau

Bài 4.27 trang 62 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\hat{A D E} = \hat{B C E}$ . Chứng minh rằng:

a) $\hat{D A C} = \hat{C B D}$ .

b) ∆AED = ∆BEC.

c) AB song song với DC.

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, ∠ADE = ∠BCE. Chứng minh rằng

Lời giải:

a) Xét tam giác AED có:

$\hat{A D E} + \hat{D A E} + \hat{A E D} = 180 °$

$\hat{D A E} = 180 ° - \hat{A D E} - \hat{A E D}$ (1)

Xét tam giác BEC có:

$\hat{B C E} + \hat{E B C} + \hat{B E C} = 180 °$

$\hat{E B C} = 180 ° - \hat{B C E} - \hat{B E C}$ (2)

Mà $\hat{A D E} = \hat{B C E}; \hat{A E D} = \hat{B E C}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra, $\hat{D A E} = \hat{E B C}$ hay $\hat{D A C} = \hat{C B D}$ (điều phải chứng minh).

b) Xét ∆AED và ∆BEC ta có:

$\hat{D A E} = \hat{E B C}$ (chứng minh trên)

$\hat{A D E} = \hat{B C E}$ (giả thiết)

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (g – c – g).

c) Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{B A C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

$\hat{A B E} + \hat{B A E} + \hat{A E B} = 180 °$

Do đó, $2 \hat{A B E} = 180 ° - \hat{A E B}$ (vì $\hat{A B E} = \hat{B A E}$ do $\hat{A B D} = \hat{B A C}$ )

Suy ra $\hat{A B E} = \frac{180 ° - \hat{A E B}}{2}$ (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra $\hat{A C D} = \hat{B D C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

$\hat{D C E} + \hat{E D C} + \hat{D E C} = 180 °$

Do đó, $2 \hat{E D C} = 180 ° - \hat{D E C}$ (vì $\hat{E D C} = \hat{D C E}$ do $\hat{A C D}$ = $\hat{B D C}$ )

Suy ra $\hat{E D C} = \frac{180 ° - \hat{D E C}}{2}$ (5)

Lại có, $\hat{A E B}, \hat{D E C}$ là hai góc đối đỉnh nên $\hat{A E B} = \hat{D E C}$ (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra $\hat{A B E} = \hat{E D C}$ = hay $\hat{A B D} = \hat{B D C}$ .

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Kết nối tri thức khác