Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (‒pi; pi)

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (‒π; π).

a) $\sin (3 x - \frac{π}{3}) = 1;$

b) $2 \cos (2 x - \frac{3 π}{4}) = \sqrt{3};$

c) $\tan (x + \frac{π}{9}) = \tan \frac{4 π}{9} .$

Lời giải:

a) $\sin (3 x - \frac{π}{3}) = 1$

$\Leftrightarrow 3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow 3 x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = \frac{5 π}{18} + k \frac{2 π}{3}, k \in ℤ$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

$- π < \frac{5 π}{18} + k \frac{2 π}{3} < π$ $\Leftrightarrow - 1 < \frac{5}{18} + k \frac{2}{3} < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{23}{12} < k < \frac{13}{12}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0; 1}.

Với k = ‒1, ta có: $x = \frac{5 π}{18} - 1 \cdot \frac{2 π}{3} = - \frac{7 π}{18}$

Với k = 0, ta có: $x = \frac{5 π}{18} + 0 \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{18}$

Với k = 1, ta có: $x = \frac{5 π}{18} + 1 \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{17 π}{18}$

Vậy phương trình có nghiệm $x \in \{- \frac{7 π}{18}; \frac{5 π}{18}; \frac{17 π}{18}\} .$

b) $2 \cos (2 x - \frac{3 π}{4}) = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \cos (2 x - \frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos (2 x - \frac{3 π}{4}) = \cos \frac{π}{6}$

$\Leftrightarrow 2 x - \frac{3 π}{4} = \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ hoặc $2 x - \frac{3 π}{4} = - \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow 2 x = \frac{11 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ$ hoặc $2 x = \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = \frac{11 π}{24} + k π, k \in ℤ$ hoặc $x = \frac{7 π}{24} + k π, k \in ℤ$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

⦁ $- π < \frac{11 π}{24} + k π < π$ $\Leftrightarrow - 1 < \frac{11}{24} + k < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{35}{24} < k < \frac{13}{24}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

⦁ $- π < \frac{7 π}{24} + k π < π$ $\Leftrightarrow - 1 < \frac{7}{24} + k < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{31}{24} < k < \frac{17}{24}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

Với k = ‒1, ta có $x = \frac{11 π}{24} + (- 1) \cdot π = - \frac{13 π}{24}$ hoặc $x = \frac{7 π}{24} + (- 1) \cdot π = \frac{- 17 π}{24}$

Với k = 0, ta có $x = \frac{11 π}{24} + 0 \cdot π = \frac{11 π}{24}$ hoặc $x = \frac{7 π}{24} + 0 \cdot π = \frac{7 π}{24}$

Vậy phương trình có nghiệm $x \in \{- \frac{17 π}{24}; - \frac{13 π}{24}; \frac{7 π}{24}; \frac{11 π}{24}\} .$

c) $\tan (x + \frac{π}{9}) = \tan \frac{4 π}{9}$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{9} = \frac{4 π}{9} + k π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

$- π < \frac{π}{3} + k π < π$ $\Leftrightarrow - 1 < \frac{1}{3} + k < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

Với k = −1, ta có: $x = \frac{π}{3} + (- 1) \cdot π = - \frac{2 π}{3};$

Với k = 0, ta có: $x = \frac{π}{3} + 0 \cdot π = \frac{π}{3}$

Vậy phương trình có nghiệm $x \in \{- \frac{2 π}{3}; \frac{π}{3}\} .$

Lời giải SBT Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác