Cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0

Trang trước Trang sau

Bài 7.12 trang 38 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0.

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải:

Xét d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0 ta có:

a₁ = 2, b₁ = 1, c₁= 1

a₂ = 2, b₂ = 5, c₂= –3

Xét tỉ số:

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{2} = 1; \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{1}{5}; \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{1}{- 3} = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

Do đó, d và k cắt nhau (điều cần phải chứng minh).

Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

Cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (–1; 1).

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.

Từ giả thiết ta có $\vec{n_{d}} = (2; 1), \vec{n_{k}} = (2; 5)$

Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì:

Vì φ là góc giữa hai đường thẳng nên 0° ≤ φ ≤ 90°, hơn nữa cosφ ≠ 0 và cosφ ≠ 1 nên ta có: 0° < φ < 90°, suy ra tanφ > 0.

Lại có: 1 + tan²φ = $\frac{1}{\cos^{2} φ}$ .

Do đó, $\tan^{2} φ = \frac{1}{\cos^{2} φ} - 1 = \frac{145}{81} - 1 = \frac{64}{81} \Rightarrow \tan φ = \frac{8}{9}$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác