Bài 64 trang 92 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Bài 64 (trang 92 SGK Toán 9 Tập 2): Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Lời giải

Giải bài 64 trang 92 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

c) Gọi tâm của đường tròn ngoại tiếp ABCD là O.

Có: sđ $\overset{⏜}{A B} = 60^{o}$

Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB $\Rightarrow \hat{A O B} = 60^{o}$

Do đó tam giác AOB đều nên AB = OB = OA = R

Có: sđ $\overset{⏜}{B C} = 90^{o}$

Mà góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC $\Rightarrow \hat{B O C} = 90^{o}$

Xét tam giác BOC có:

$\hat{B O C} = 90^{o}$

Do đó, tam giác BOC vuông tại O

Xét tam giác BOC vuông tại O

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$B C^{2} = O B^{2} + O C^{2}$

$\Rightarrow B C = \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = R \sqrt{2}$

Do đó, ABCD là hình thang cân.

$\Rightarrow$ AD = BC = R $\sqrt{2}$

Kẻ OH vuông góc với CD tại H

Tứ giác ABCD là hình thang cân

$\Rightarrow \hat{B C D} = \hat{A D C} = 75^{o}$

Xét tam giác BOC vuông tại O

Có: OB = OC (= R)

Do đó, tam giác BOC vuông cân tại O

$\Rightarrow \hat{B C O} = \hat{C B O} = 45^{o}$

$\Rightarrow \hat{O C D} = \hat{B C D} - \hat{B C O} = 75^{o} - 45^{o} = 30^{o}$

Xét tam giác OCH vuông tại H (ta kẻ OH vuông góc với CD tại H)

Có: $H C = O C . \cos \hat{O C H} = R . c o s 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} R$

Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

$\Rightarrow$ CD = 2CH = R $\sqrt{3}$ .

Tham khảo các lời giải Toán 9 Bài 8 khác:

Tham khảo các lời giải Toán 9 Chương 3 khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

duong-tron-ngoai-tiep-duong-tron-noi-tiep.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác