Bài 37 trang 126 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Luyện tập (trang 126 sgk Toán 9 Tập 2)

Video Bài 37 trang 126 SGK Toán 9 Tập 2 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 37 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2): Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh AM.BN = R²

c) Tính tỉ số Giải bài 37 trang 126 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Lời giải

Giải bài 37 trang 126 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của $\hat{A O P}, \hat{B O P}$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà $\hat{A O P}$ kề bù với $\hat{B O P}$ nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy tam giác MON vuông tại O.

Góc APB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\hat{A P B} = 90^{o}$

Do AM là tiếp tuyến với (O) tại A nên $\hat{M A O} = 90^{o}$

Do MN là tiếp tuyến với (O) tại P nên $\hat{M P O} = 90^{o}$

Tứ giác AOPM có:

$\hat{M A O} + \hat{M P O} = 90^{o} + 90^{o} = 180^{o}$

Do đó, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn

$\Rightarrow \hat{P M O} = \hat{P A O}$ (do là hai góc nội tiếp chắn cung OP)

Xét tam giác MON và tam giác APB có:

$\hat{M O N} = \hat{A P B} = 90^{o}$ (chứng minh trên)

$\hat{P M O} = \hat{P A O}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MON đồng dạng với tam giác APB (góc – góc).

Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: $O P^{2} = M P . N P$ (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và AM cắt nhau ta có:

MA = MP (2)

Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và BN cắt nhau ta có:

NP = NB (3)

Theo (1), (2) và (3) ta có: $O P^{2} = M A . N B \Rightarrow R^{2} = M A . N B$ (đcpcm)

Theo phần a, tam giác MON và tam giác APB đồng dạng với nhau

Do đó, tỉ số đồng dạng là: $k = \frac{M N}{A B} \Rightarrow \frac{S_{M O N}}{S_{A P B}} = k^{2} = \frac{M N^{2}}{A B^{2}}$ (*)

Theo phần b, ta có: $R^{2} = M A . N B$

Lại có: $A M = \frac{R}{2}$ nên BN = $R^{2} : \frac{R}{2} = 2 R$

Mà: MN = MP + NP = MA + NB = $\frac{R}{2}$ + 2R = $\frac{5}{2} R$

Nên $M N^{2} = {(\frac{5}{2} R)}^{2} = \frac{25 R^{2}}{4}$ và AB = 2R

Thay vào (*) ta có: $\frac{S_{M O N}}{S_{A P B}} = \frac{M N^{2}}{A B^{2}} = \frac{\frac{25 R^{2}}{4}}{{(2 R)}^{2}} = \frac{25}{16}$ .

Nửa hình tròn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R nên thể tích khối cầu tạo ra là: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Tham khảo các lời giải Toán 9 Bài 3 khác:

Tham khảo các lời giải Toán 9 Chương 4 khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

hinh-cau-dien-tich-mat-cau-va-the-tich-hinh-cau.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác