Sách bài tập Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 45 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng.

Lời giải:

ΔABC cân tại A

⇒ phân giác AI đồng thời là trung tuyến

⇒ AI đi qua trọng tâm G của ΔABC

Vậy A, I, G thẳng hàng.

Bài 46 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.

Lời giải:

* Nếu O là điểm nằm trong ΔABC

Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ BC, OI ⊥ AC

Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA nên: OH = OK = OI

+) Ta có: OH = OK nên O nằm trên đường phân giác của góc ∠ABC.

Do OK = OI nên O nằm trên đường phân giác của góc ∠ACB

Do OH = OI nên O nằm trên đường phân giác của góc ∠BAC

Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của ΔABC

* Nếu O' nằm ngoài ΔABC

Kẻ O'D ⊥ AB, O'E ⊥ BC, O'F ⊥ AC

Vì O' cách đều ba đường thẳng AB, BC, AC nên: O'D = O'E = O'F

Vì O'D = O'F nên O' nằm trên tia phân giác của ∠(BAC)

Vì O'D = O'E nên O' nằm trên tia phân giác của ∠(DBC)

Suy ra O' là giao điểm phân giác trong của ∠(BAC) và phân giác ngoài tại đỉnh B.

Khi đó A, O, O' thẳng hàng ( vì hai tia AO và AO’ đều là tia phân giác của góc BAC) và A, H, D thẳng hàng

Ta có: OH < O'D

Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong ΔABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và ngắn nhất.

Bài 47 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải:

Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC

Vì AM là tia phân giác của ∠(BAC) nên MH = MK (tính chất tia phân giác)

Xét hai tam giác MHB và MKC, ta có:

∠(MHB) = ∠(MKC) = 90º

MH = MK (chứng minh trên)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔMHB = ΔMKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠B = ∠C (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 48 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của BC.

Lời giải:

Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác của góc A.

Gọi H là trung điểm của BC

Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

Vậy AK đi qua trung điểm H của BC.

Bài 49 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.

Lời giải:

Vì ΔABC cân tại A và DB = DC (gt) nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của ∠(BAC) (tính chất).

Ta có: DE ⊥ AB (gt)

DF ⊥ AC (gt)

Suy ra: DE = DF (tính chất đường phân giác của góc).

Bài 50 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ∠A = 70^o, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính ∠(BIC).

Lời giải:

Trong ∆ABC, ta có:

∠A + ∠B + ∠C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: ∠B + ∠C = 180^o - ∠A = 180^o - 70^o = 110^o

Ta có:

∠(B₁ ) = 1/2 ∠B (vì BD là tia phân giác)

∠(C₁ ) = 1/2 ∠C (vì CE là tia phân giác)

Trong ∆BIC, ta có:

∠(BIC) + ∠(B₁ ) + ∠(C₁ ) = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠(BIC) = 180^o - (∠(B₁ ) + ∠(C₁)) = 180^o - 1/2 (∠B + ∠C)

= 180^o - 1/2 .110^o = 125^o

Bài 51 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I trong đó góc BIC bằng:

a) 120^o

b) α (α > 90^o)

Lời giải:

Trong ΔBIC có: ∠(BIC) + ∠B₁ + ∠C₁ = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠B₁ + ∠C₁ = 180^o - ∠(BIC)

Ta có:

∠B₁ = 1/2 ∠B (vì BD là tia phân giác)

∠C₁ = 1/2 ∠C (vì CE là tia phân giác)

Suy ra: ∠B + ∠C = 2(∠B₁ + ∠C₁) = 2.(180^o - ∠(BIC))

Trong ΔABC có: ∠A + ∠B + ∠C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: ∠A = 180^o - (∠B + ∠C) = 180^o - 2.(180^o - ∠(BIC)) = 2. ∠(BIC) – 180^o

a) ∠(BIC) = 120^o thì ∠A = 2.120^o – 180^o = 60^o.

b) ∠(BIC) = α thì ∠A = 2.α – 180^o.

Bài 52 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Lời giải:

Kẻ IH ⊥ AB, IJ ⊥ BC, IG ⊥ AC, KD ⊥ AB, KE ⊥ AC, KF ⊥ BC

Vì I nằm trên tia phân giác của ∠(BAC) nên IH = IG (tính chất tia phân giác)

Vì I nằm trên tia phân giác của ∠(BCA) nên IJ = IG (tính chất tia phân giác)

Suy ra: IH = IJ

Do đó I nằm trên tia phân giác của ∠(ABC) (1)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(DAC) nên KD = KE (tính chất tia phân giác)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(ACF) nên KE = KF (tính chất tia phân giác)

Suy ra: KD = KF

Do đó K nằm trên tia phân giác của ∠(ABC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: B, I, K thẳng hàng.

Bài 53 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.

a. Chứng minh rằng AD = AE

b. Tính các độ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.

Lời giải:

a. Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của B và C nên AI là tia phân giác của ∠A .

Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì ΔADI vuông tại D có AI là tia phân giác góc A nên:

Do đó: ΔADI vuông cân tại D

Suy ra: ID = DA (2)

Vì ΔAEI vuông tại E có nên ΔAEI vuông cân tại E

Suy ra: IE = AE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE.

b. Tam giác vuông BAC có ∠A = 90^o

Áp dụng định lí Pitago, ta có:

BC² = AB² + AC²

= 6² + 8² = 36 + 64 = 100

⇒ BC = 10 (cm)

Kẻ IF ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông IDB và IFB, ta có:

∠(IDB) = ∠(IFB) = 90^o

∠(DBI) = ∠(FBI) (gt)

cạnh huyền BI chung

Suy ra: ΔIDB = ΔIFB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: DB = FB (hai cạnh tương ứng) (4)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:

∠(IEC) = ∠(IFC) = 90^o

∠(ECI) = ∠(FCI) (gt)

cạnh huyền CI chung

Suy ra: ΔIEC = ΔIFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng) (5)

Mà: AD + AE = AB - DB + AC - CE

Suy ra: AD + AE = AB + AC - (DB + CE) (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra: AD + AE = AB + AC - (FB + FC)

= AB + AC - BC = 6 + 8 - 10 = 4 (cm)

Mà AD = AE (chứng minh trên)

Nên AD = AE = 4 : 2 = 2(cm).

Bài 6.1 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai?

(A) Điểm O nằm trên tia phân giác của góc A.

(B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.

(C) Điểm O cách đều AB, BC.

(D) Điểm O cách đều AB, AC, BC.

Lời giải:

Điểm O cách đều AB, AC nên O thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, O thuộc tia phân giác của góc B nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy (B) sai còn (A), (C), (D) đúng.

Đáp số: (B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.

Bài 6.2 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ∠A = ∠B + ∠C . Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó BOC bằng:

(A) 85^o ;

(B) 90^o ;

(C) 135^o ;

(D) 150^o

Lời giải:

Do AO, CO lần lượt là tia phân giác của ∠A và ∠C nên BO là tia phân giác của ∠B

Xét tam giác OBC có:

Chọn (C) 135º.

Bài 6.3 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF.

Lời giải:

Vì điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC và nằm trong tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC, tức là BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc N và góc C. Do EF // BC nên ∠B¹= ∠I¹(so le trong), suy ra ∠I² = ∠B² .

Suy ra: BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C.

Do EF // BC nên ∠B₁ = ∠BIE (so le trong).

Lại có: ∠B₁ = ∠B₂ ( vì BI là tia phân giác của góc B )

Suy ra: ∠B₂ = ∠BIE

Vậy EF = EI + IF = BE + CF.

Bài 6.4 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hai đường phân giác AA₁ và BB₁ của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu

a) ∠(AMB) = 136^o

b) ∠(AMB) = 111^o.

Lời giải:

Ta có: ∠A + ∠B +∠C = 180º ( tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra: ∠C = 180º – (∠A + ∠B)

Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc C.

a) 1/2(∠A + ∠B ) = ∠(MAB) + ∠(MBA) = 180 − ∠(AMB) = 180^o − 136^o = 44^o

Suy ra ∠A + ∠B = 2.44^o = 88^o

∠C = 180^o − 88^o = 92^o

Vậy ∠(ACM) = ∠(BCM) = 92^o : 2^o = 46^o

b) Ta có ½. (∠A + ∠B ) = ∠(MAB) + ∠(MBA) = 180 − ∠(AMB) = 180^o − 111^o = 69^o.

Suy ra ∠A + ∠B = 138^o

Suy ra ∠C = 180^o – (∠A + ∠B) = 180^o − 138^o = 42^o.

Vì CM là tia phân giác của góc ACB nên: ∠(ACM) = ∠(BCM) = 420 : 2 = 21^o.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
• Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
• Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác
• Ôn tập chương 3 - Phần Hình học
• Ôn tập cuối năm (phần Đại số - phần Hình học)

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---