Sách bài tập Toán 7 Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 1 trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2: So sánh các góc của tam giác ABC biết rằng AB = 5cm, BC = 5cm, AC = 3cm.

Lời giải:

Ta có: AB = BC nên ΔABC cân tại B

Suy ra: ∠A = ∠C

Vì BC > AC nên ∠A > ∠B (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Vậy ∠A = ∠C > ∠B .

Bài 2 trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2: So sánh các cạnh của tam giác ABC biết rằng ∠A = 80^o, ∠C = 40^o

Lời giải:

Ta có: ∠A + ∠B + ∠C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: ∠B = 180^o - (∠A + ∠C )

= 180^o - (80^o + 40^o) = 60^o

Trong ΔABC, ta có: ∠A > ∠B > ∠C

Suy ra: BC > AC > AB (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Bài 3 trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có B > 90^o, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AB < AD < AC

Lời giải:

Trong ∆ABD ta có: ∠B > 90^o

⇒ ∠B > ∠D₁ ( trong 1 tam giác, góc tù là góc lớn nhất- chú ý tổng ba góc trong một tam giác bằng 180º) ⇒ AD > AB (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) (1)

Trong ΔABD ta có: ∠D₂ là góc ngoài tại đỉnh D nên ∠D₂ = ∠B + ∠BAD. Suy ra: ∠D₂ > ∠B > 90^o

Trong ΔADC ta có: ∠D₂ > 90^o

⇒ ∠D₂ > ∠C ⇒ AC > AD (cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB < AD < AC

Bài 4 trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Điền dấu “X” vào chỗ trống thích hợp.

Câu	Đúng	Sai
1. Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất	……	……
2. Trong một tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất	……	……
3. Trong một tam giác, đối diện cạnh nhỏ nhất là góc nhọn	……	……
4. Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù	……	……

Lời giải:

Câu	Đúng	Sai
1. Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất	x
2. Trong một tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất	x
3. Trong một tam giác, đối diện cạnh nhỏ nhất là góc nhọn	x
4. Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù		x

Bài 5 trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh độ dài BK, BC.

Lời giải:

Trong ΔABK, ta có ∠BKC là góc ngoài tại đỉnh K nên ∠BKC = ∠A + ∠ABK

Suy ra: ∠BKC > ∠A = 90^o (tính chất góc ngoài)

Trong ΔBKC ta có ∠BKC là góc tù, BC là cạnh đối diện với ∠BKC

Suy ra BC là cạnh lớn nhất

Do đó BC > BK.

Bài 6 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC.

Lời giải:

Kẻ DH ⊥ BC.

Xét hai tam giác vuông ABD và HBD, ta có:

∠B₁ = ∠B₂ ( vì BD là tia phân giác của góc ABC).

Cạnh huyền BD chung

∠BAD = ∠BHD = 90º

Suy ra: ΔABD = ΔHBD (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AD = HD (2 cạnh tương ứng) (1)

Trong tam giác vuông DHC có ∠DHC = 90^o

⇒ DH < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD < DC

Bài 7 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh ∠(BAM) và ∠(MAC)

Lời giải:

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có:

MA = MD (theo cách vẽ)

∠(AMB) = ∠(DMC) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)

Suy ra: AB = CD (2 cạnh tương ứng)

và ∠D = ∠A₁(2 góc tương ứng) (1)

Mà AB < AC (gt)

nên: CD < AC

Trong ΔADC, ta có: CD < AC

Suy ra: ∠D > ∠A₂(đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠A₁ > ∠A₂hay ∠(BAM) > ∠(MAC) .

Bài 8 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC.

Lời giải:

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

Ta có: AB < AC nên AE < AC

Suy ra E nằm giữa A và C.

Xét ΔABD và ΔAED, ta có:

AB = AE (theo cách vẽ)

∠(BAD) = ∠(EAD) (gt)

AD cạnh chung

Suy ra: ΔABD = ΔAED (c.g.c)

Suy ra: BD = DE (2 cạnh tương ứng)

và ∠(ABD) = ∠(AED) (2 góc tương ứng)

Mà: ∠(ABD) + ∠B₁= 180^o (2 góc kề bù)

∠(AED) + ∠E₁= 180^o (2 góc kề bù)

Suy ra: ∠B₁= ∠E₁

Trong ΔABC ta có ∠B₁là góc ngoài tại đỉnh B

Ta có: ∠B₁ > ∠C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra: ∠E₁> ∠C

Suy ra: DC > DE (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy BD < DC.

Bài 9 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30^o thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải:

Xét ΔABC, ta có: ∠A= 90^o; ∠B= 30^o

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC

Ta có: ΔACD cân tại C

Mà ∠C + ∠B = 90^o (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: ∠C = 90^o - ∠B = 90^o - 30^o = 60^o

Suy ra: ΔACD đều

Suy ra: AC = AD = DC và ∠A₁= 60^o

Ta có: ∠A₁+ ∠A₂ = ∠BAC = 90^o

⇒ ∠A₂ = 90^o - ∠A₁ = 90^o - 60^o = 30^o

Trong ΔADB, ta có: ∠A₂ = ∠B= 30^o

Suy ra: ΔADB cân tại D (vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau)

Hay AD = DB

Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC

Vậy AC = 1/2 BC.

Bài 10 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Chứng minh định lý “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” theo gợi ý sau:

Cho tam giác ABC có ∠B > ∠C

a. Có thể xảy ra AC < AB hay không?

b. Có thể xảy ra AC = AB hay không?

Lời giải:

a. Nếu AB > AC thì ∠C > ∠B (góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Điều này trái với giả thiết ∠B > ∠C nên không xảy ra.

b. Nếu AB = AC thì ΔABC cân tại A

⇒ ∠B = ∠C(tính chất tam giác cân)

Điều này trái với giả thiết ∠B > ∠C nên không xảy ra.

Vậy nếu ∠B > ∠C thì AC > AB.

Bài 1.1 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ∠A là góc tù, ∠B > ∠C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

(A) AB > AC > BC

(B) AC > AB > BC

(C) BC > AB > AC

(D) BC > AC > AB

Lời giải:

Do ∠A là góc tù nên ∠A lớn nhất. Vậy có ∠A> ∠B > ∠C. Từ đó suy ra BC > AC > AB. Chọn (D) BC > AC > AB.

Bài 1.2 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm và AC = 7cm. Gọi ∠A , ∠B , ∠C theo thứ tự là góc ngoài tại đỉnh A, B, C của tam giác đó. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

(A) ∠A > ∠B > ∠C

(B) ∠B > ∠C > ∠A

(C) ∠C > ∠A > ∠B

(D) ∠C > ∠B > ∠A

Lời giải:

Chọn C

Bài 1.3 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: So sánh các cạnh của một tam giác cân, biết rằng nó có một góc ngoài bằng 40^o.

Lời giải:

Theo giả thiết, tam giác cân này có một góc ngoài bằng 40^o nên nó có một góc trong bằng 180^o - 40^o = 140^o. Góc trong này không thể là góc ở đáy của tam giác cân mà phải là góc ở đỉnh. Vậy cạnh đáy của tam giác cân lớn hơn hai cạnh bên của nó.

Bài 1.4 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB ≤ AC. Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Chứng minh rằng AM < AC.

Lời giải:

ΔABC có AB ≤ AC ⇒ ∠C ≤ ∠B.

ΔABM có ∠M₁ là góc ngoài nên ∠M₁ > ∠B

⇒ ∠M₁ > ∠C

ΔAMC có ∠M₁ > ∠C ⇒ AC > AM.

Bài 1.5 trang 38 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB ≤ BC ≤ CA. Trên các cạnh BC và AC lần lượt lấy hai điểm M và N (khác A, B, C). Chứng minh rằng MN < AC.

Lời giải:

Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được

MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.

Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC (M ≠ B, M ≠ C); Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.

Bài 1.6 trang 38 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D (khác A và B), trên cạnh AC lấy điểm E (khác A và C). Chứng minh rằng DE < BC.

Lời giải:

+ ΔADE có ∠E₁ là góc ngoài ⇒ ∠E₁ > ∠A

Mà ∠A > 90^o ⇒ ∠E₁ > 90^o

ΔCDE có ∠E₁ tù ⇒ CD là cạnh lớn nhất ⇒ CD > DE (1)

+ Tương tự xét ΔADC có ∠D₁ là góc ngoài

⇒ ∠D₁ > ∠A ⇒ ∠D₁ > 90^o (vì ∠A > 90º)

ΔBDC có ∠D₁ tù ⇒ BC là cạnh lớn nhất ⇒ BC > CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC > DE.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
• Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
• Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
• Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc
• Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---