Bộ 95 Đề thi vào 10 Toán năm 2024 (hệ không chuyên)

---

---

Bộ 95 Đề thi vào lớp 10 môn Toán hệ không chuyên được chọn lọc và tổng hợp từ các trường THPT trên cả nước sẽ giúp học sinh ôn luyện, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023.

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Kì thi tuyển sinh vào 10

Năm học 2023 - 2024

Đề thi môn: Toán

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

Phần A. Đề

Câu 1: (1,5 điểm)

1)     Rút gọn biểu thức: A = $\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}$

2)      Chứng minh rằng: $\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}:\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x-y$ ; với x>0;y>0 và x ≠ y

Câu 2: (2,0 điểm)

1)     Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x + y = 1\\ 3x + 4y = -1\end{array}\right.$

2)     Giải phương trình: $\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x^2 - 4x + 3} = 0$

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho phương trình x² + 2(m+1)x + m²= 0 (m là tham số)

1)     Tìm m để phương trình có nghiệm.

2)     Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂  sao cho: x₁² + x₂²- 5x₁x₂ = 13

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q

1)     Chứng minh rằng: tứ giác APMO nội tiếp

2)     Chứng minh rằng : AP + BQ = PQ

3)     Chứng minh rằng : AP.BQ=AO²

4)     Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao cho diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + 3y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x² + y² + 16y + 2x

 

Phần B. Đáp án

Câu 1: (1,5 điểm)

1) A =  $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} -4\sqrt{3} = \sqrt{3}$

2) $\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}:\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y$

Câu 2: (2,0 điểm)

1) $\left\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ 3x+4y=-1\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}y=1-2x\\ 3x+4(1-2x)=-1\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}y=1-2x\\ -5x=-5\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$

2) ĐK: x ≠ 1,x ≠ 3

$\begin{array}{l}\frac{x}{x-1}+\frac{2}{x^2-4x+3}=0<=>\frac{x}{x-1}+\frac{2}{(x-1)(x-3)}=0\\ <=>x(x-3)+2=0\\ <=>x^2-3x+2=0\end{array}$

Vì a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0 => x₁ = 1 (không TMĐK), x₂ = 2 (TMĐK)

Vậy phương trình có một nghiệm là x = 2

Câu 3: (2,0 điểm)

1) Phương trình có nghiệm khi $\Delta \text{'}={(m+1)}^2-m^2\ge 0<=>2m+1\ge 0<=>m\ge \frac{-1}{2}$

2) Phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 khi $m\ge \frac{-1}{2}$ (theo câu 1).Theo Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2(m+1)\\ x_1{x}_2=m^2\end{array}\right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}{x_1}^2+{x_2}^2-5x_1{x}_2=13\\ <=>(x_1+x_2)-7x_1{x}_2=13\\ <=>4{(m+1)}^2-7m^2=13\\ <=>3m^2-8m+9(*)\end{array}$

Vì $\Delta \text{'}=16-27=-11<0=>(*)$vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để phương trình x² + 2(m+1)x + m² = 0 có 2 nghiệm x₁ ,x₂ sao cho x₁² + x₂²- 5x₁x₂ = 13

Câu 4: (3,5 điểm)

1) Xét tứ giác APMQ, ta có:

$\widehat{OAP}=\widehat{OMP}={90}^o$ (vì PA, PM là tiếp tuyến của (O))

Vậy tứ giác APMO nội tiếp.

2) Ta có AP = MP (AP, MP là tiếp tuyến của (O))
BQ = MQ (BQ, MQ là tiếp tuyến của (O))
=> AP+BQ = MP+MQ = PQ
3) Ta có OP là phân giác góc AOM (AP, MP là tiếp tuyến của (O))
OQ là phân giác góc BOM (BQ, MQ là tiếp tuyến của (O))
Mà góc AOM +góc BOM =180⁰ (hai góc kề bù) => góc POQ = 90^o

Xét DPOQ, ta có: góc POQ = 90⁰ (cmt), OM  $\perp$ PQ  (PQ là tiếp tuyến của (O) tại M)
=> MP.MQ=OM² (hệ thức lượng)

Lại có MP=AP; MQ=BQ (cmt), OM=AO (bán kính)

Do đó AP.BQ = AO²

4) Tứ giác APQB có: AP//BQ( AP$\perp$AB, BQ $\perp$AB), nên tứ giác APQB là hình thang vuông

=> $S_{APQB}=\frac{(AP+BQ)AB}{2}=\frac{PQ.AB}{2}$

Mà AB không đổi nên S_APQB đạt GTNN

 <=> PQ nhỏ nhất <=> PQ=AB <=> PQ//AB <=> OM $\perp$  AB

<=> M là điểm chính giữa cung AB.Tức là M trùng M₁ hoăc M trùng M₂ (hình vẽ) thì S_APQB đạt GTNN là $\frac{A{B}^2}{2}$

Câu 5: (1,0 điểm)
Ta có x+3y = 5 => x = 5 - 3y

Khi đó A = x² + y ² + 16y + 2x

= (5 - 3y)²+ y²+ 16y + 2(5 - 3y) = 10y²-20y+35

=10( y-1)²+ 25 $\ge$ 25( vì 10(y-1)² 0 với mọi y)

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=5-3y\\ 10{(y-1)}^2=0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy GTNN của A = 25 khi $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Kì thi tuyển sinh vào 10

Năm học 2023 - 2024

Đề thi môn: Toán

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

Phần A. Đề

Câu 1: (1,75 điểm)

1)     Giải phương trình 2x²+ 5x - 3 = 0

2)     Giải phương trình 2x²- 5x = 0

3)     Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4x+5y=7\\ 3x-y=-9\end{array}\right.$

Câu 2: (1,0 điểm)

Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}$  (với a $\in$ R, a $\ge$ 0  và a ≠ 1)

1)     Rút gọn biểu thức A.

2)     Tính giá trị biểu thức A tại a = 2 .

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho hai hàm số y= -2x² có đồ thị là (P),y = x-1 có đồ thị là (d).

1)     Vẽ hai đồ thị (P) và (d) đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

2)     Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) đã cho.

Câu 4: (1,0 điểm)

1)     Tìm hai số thực x và y thỏa mãn

2)     Cho x₁ ; x₂ là hai nghiệm của phương trình :2x²- 5x + 1 = 0. Tính M = x₁²+ x₂²

Câu 5: (1,25 điểm)

Một xưởng có kế hoạch in xong 6000 quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 300 quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong 6000 quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch.

Câu 6: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), bán kính R , BC=a, với a và R là các số thực dương. Gọi I là trung điểm của cạnh BC . Các góc  CAB, ABC, BCA  đều là góc nhọn.

1)     Tính OI theo a và R.

2)     Lấy điểm D thuộc đoạn AI , với D khác A, D khác I. Vẽ đường thẳng qua D song song với BC cắt cạnh AB tại điểm E. Gọi F là giao điểm của tia CD và đường tròn (O), với F khác C. Chứng minh tứ giác ADEF là tứ giác nột tiếp đường tròn.

3)     Gọi J là giao điểm của tia AI và đường tròn (O) , với J khác A. Chứng minh rằng AB.BJ = AC.CJ

Phần B. Đáp án

Câu 1:

1)     Giải phương trình 2x²+ 5x - 3 = 0

Ta có : $\Delta =5^2-\mathrm{4.2.}(-3)=49>0$

Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : $x_1=\frac{1}{2};x_2=-3$

2)     Giải phương trình 2x²- 5x = 0

<=> x(2x-5) = 0

<=> $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x = 0; x = $\frac{5}{2}$

3)     Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}4x+5y=7\\ 3x-y=-9\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}4x+5y=7\\ 15x-5y=-45\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}19x=-38\\ 4x+5y=7\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ 4.(-2)+5.y=7\end{array}\right.\\ <=>\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.\end{array}$

Đáp số: $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.$

Câu 2:

1) $A=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}=\frac{{(\sqrt{a}+1)}^2-{(\sqrt{a}-1)}^2}{a-1}=\frac{a+2\sqrt{a}+1-a+2\sqrt{a}-1}{a-1}=\frac{4\sqrt{a}}{a-1}$

2) Với a = 2 thì $A=\frac{4\sqrt{2}}{2-1}=4\sqrt{2}$

Câu 3:

Cho hai hàm số y = -2x² có đồ thị là (P),y = x - 1 có đồ thị là (d).

1)     Vẽ hai đồ thị (P) và (d) đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

-2x² = x - 1 <=> 2x²+ x - 1 = 0

Ta có a - b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁ = -1 và x₂ = 1/2

Với x₁ = -1 => y₁ = -2 và x₂ = 1/2 => y₂ = -1/2

Vậy tọa độ các giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) đã cho là (-1; -2); (1/2; -1/2)

Câu 4:

1)     Hai số thực x và y là nghiệm của phương trình : x² - 3x - 154 = 0

Giải được: x₁ = 14; x₂ = -11

Vì x > y nên x = 14; y = -11

2)     Cho x₁ ; x₂ là hai nghiệm của phương trình 2x²- 5x + 1 = 0

Ta có:

$\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{5}{2}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ M={x_1}^2+{x_2}^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=-2.\frac{1}{2}=\frac{21}{4}\end{array}$

Câu 5:

Gọi x là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch (x nguyên dương)

Số ngày in theo kế hoạch: $\frac{6000}{x}$ (ngày)

Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày : x + 300 ( quyển sách)

Số ngày in thực tế: $\frac{6000}{x+300}$( ngày)

Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{6000}{x}$ - $\frac{6000}{x+300}$ =1

<=> x²+300x - 1800000=0

<=> x₁ = 1200(nhận); x₂ = -1500 (loại)

Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là:1200 (quyển sách)

Câu 6:

1)     Tính OI theo a và R.

Ta có: I là trung điểm của BC (gt)

Nên IB = IC = a/2  và OI $\perp$ BC(lên hệ đường kính và dây)

Xét tam giác OIC vuông tại I

Áp dụng định lý Pytago tính được $OI=\frac{\sqrt{4R^2-a^2}}{2}$

2)     Chứng minh tứ giác ADEF là tứ giác nột tiếp đường tròn.

Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{AED}$ (đồng vị)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{AFC}$ (cùng nội tiếp chắn cung AC)

=> $\widehat{AED}=\widehat{AFC}\text{ hay }\widehat{AED}=\widehat{AFD}$

Tứ giác ADEF có  $\widehat{AED}=\widehat{AFD}$ (cmt)

Nên tứ giác ADEF nội tiếp đường tròn

(E, F cùng nhìn AD dưới 2 góc bằng nhau)

3)     Chứng minh rằng AB.BJ = AC.CJ

Chứng minh: tam giác AIC đồng dạng với tam giác BIJ (g-g)

=> $\frac{AI}{BI}=\frac{AC}{BJ}$ (1)

Chứng minh:tam giác AIB đồng dạng với tam giác CIJ(g-g)

=> $\frac{AI}{CI}=\frac{AB}{CJ}$ (2)

Mà BI = CI (I là trung điểm BC) (3)

Từ (1);(2);(3) => $\frac{AB}{CJ}=\frac{AC}{BJ}=>AB.BJ=AC.CJ$

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Kì thi tuyển sinh vào 10

Năm học 2023 - 2024

Đề thi môn: Toán

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 3)

Phần A. Đề

Bài 1 (2,0 điểm)

Với x > 0, cho hai biểu thức $A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$  và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$

1)     Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.

2)     Rút gọn biểu thức B.

3)     Tìm x để $\frac{A}{B}>\frac{3}{2}$

Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Bài 3 (2,0 điểm)

1)     Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3(x+1)+2(x+2y)=4\\ 4(x+1)-(x+2y)=9\end{array}\right.$

2)     Cho parabol (P) :  $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng (d):  $y=mx-\frac{1}{2}{m}^2+m+1$

a)     Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P)

b)     Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁ ,x₂ sao cho |x₁ – x₂| = 2

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).

1)    Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2)     Chứng minh AN² = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.

3)     Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC

4)     Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài 5 (0,5 điểm)

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge 3$

Phần B. Đáp án

Bài 1: (2,0 điểm)

1)     Với x = 64 ta có $A=\frac{2+\sqrt{64}}{\sqrt{64}}=\frac{2+8}{8}=\frac{5}{4}$

2)    $B=\frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x})+(2\sqrt{x}+1)\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x})}=\frac{x\sqrt{x}+2x}{x\sqrt{x}+x}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}$

3)     Với x > 0 ta có:

$\begin{array}{l}\frac{A}{B}>\frac{3}{2}<=>\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}>\frac{3}{2}<=>\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\frac{3}{2}\\ <=>2\sqrt{x}+2>3\sqrt{x}<=>\sqrt{x}<2<=>0<x<4 (Do\text{ x>0)}\end{array}$

Bài 2: (2,0 điểm)

Đặt x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là x + 9 (km/h)

Do giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\frac{90}{x}+\frac{90}{x+9}=5-\frac{1}{2}<=>\frac{10}{x}+\frac{10}{x+9}=\frac{1}{2}<=>x(x+9)=20(2x+9)\\ <=>x^2-31x-180=0\\ <=>x=36(\text{ Do x>0)}\end{array}$

Bài 3: (2,0 điểm)

1)     Hệ phương trình tương đương với:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3x+3+2x+4y=4\\ 4x+4-x-2y=9\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}5x+4y=1\\ 3x-2y=5\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}5x+4y=1\\ 6x-4y=10\end{array}\right.\\ <=>\left\{\begin{array}{l}11x=11\\ 6x-4y=10\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.\end{array}$

2)

a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$\frac{1}{2}{x}^2=x+\frac{3}{2}<=>x^2-2x-3=0<=>x=-1\text{ hay x = 3 (Do x-b+c = 0)}$

Ta có $y(-1)=\frac{1}{2};y\left(3\right)=\frac{9}{2}$ Vậy tọa độ giao điểm A và B là $(-1;\frac{1}{2})$ và $(3;\frac{9}{2})$

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$\frac{1}{2}{x}^2=mx-\frac{1}{2}{m}^2+m+1<=>x^2-2mx+m^2-2m-2=0(*)$

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt x₁ , x₂ thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó:

 $\begin{array}{l}\Delta \text{'}=m^2-m^2+2m+2>0<=>m>-1\\ Khi\text{ m >-1 ta co:}\\ \text{|}{x}_1-x_2|=2\\ <=>{x_1}^2+{x_2}^2-2x_1{x}_2=4\\ <=>{\left(x_1+x_2 \right)}^2 -4x_1{x}_2=4\\ <=>4m^2-4(m^2-2m-2)=4\\ <=>8m=-4\\ <=>m=\frac{-1}{2}\end{array}$

Cách giải khác: Khi m > -1 ta có:

$\begin{array}{l}|x_1-x_2|=2<=>|\frac{b+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a\text{'}}-\frac{b-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a\text{'}}|=2\sqrt{\Delta \text{'}}=2\sqrt{2m+2}\\ <=>2\sqrt{2m+2}=2\\ <=>2m+2=1\\ <=>m=\frac{-1}{2}\end{array}$

Bài 4: (3,5 điểm)

1)  Xét tứ giác AMON có hai góc đối

∠ ANO = 90^o

∠ AMO = 90⁰ nên là tứ giác nội tiếp

2)  Hai tam giác ABM và AMC đồng dạng nên ta có AB.AC = AM²= AN²= 6²= 36

$\begin{array}{l}=>AC=\frac{6^2}{AB}=\frac{6^2}{4}=9\left(cm\right)\\ =>BC=AC-AB=9-4=5\left(cm\right)\end{array}$

3)  MTN = 1/2MON = AON (cùng chắn cung MN trong đường tròn (O)), và AIN = AON))

(do 3 điểm N, I, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AO và cùng chắn cung 90^o)

Vậy AIN = MTI = TIC nên MT//AC do có 2 góc so le bằng nhau.

4)     Xét ∆ AKO có AI vuông góc với KO. Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi H là giao điểm của OQ và AI thì H là trực tâm của DAKO , nên KMH vuông góc với AO. Vì MHN vuông góc với AO nên đường thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với AO. Vậy K nằm trên đường thẳng cố định MN khi BC di chuyển.
Cách giai khác: Ta có KB² = KC² = KI.KO. Nên K nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn tâm O và đường tròn đường kính AO. Vậy K nằm trên đường thẳng MN là trục đẳng phương của 2 đường tròn trên.

Bài 5: (0,5 điểm)

Từ giả thiết đã cho ta có : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$

Theo bất đẳng thức Cauchy ra ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\ge \frac{1}{ab};\frac{1}{2}(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge \frac{1}{bc};\frac{1}{2}(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2})\ge \frac{1}{ca}\\ \frac{1}{2}(\frac{1}{a^2}+1)\ge \frac{1}{a};\frac{1}{2}(\frac{1}{b^2}+1)\ge \frac{1}{b};\frac{1}{2}(\frac{1}{c^2}+1)\ge \frac{1}{c}\end{array}$

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:

$\begin{array}{l}\frac{3}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+\frac{3}{2}\ge 6<=>\frac{3}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge 6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\\ <=>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge 3\left(DPCM\right)\end{array}$

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Kì thi tuyển sinh vào 10

Năm học 2023 - 2024

Đề thi môn: Toán

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 4)

Phần A. Đề

Câu 1:

Rút gọn các biểu thức:

$\begin{array}{l}a)P=\sqrt{8}-\sqrt{18}+2\sqrt{32}\\ b)Q=(\frac{1}{\sqrt{x}+4}+\frac{1}{\sqrt{x}-4})\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}\end{array}$

Câu 2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 2x+y=4\end{array}\right.$

Câu 3:

Cho phương trình bậc hai : x² – 4x + m + 2 = 0 (m là tham số)

a)     Giải phương trình khi m = 2

b)     Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2=3(x_1+x_2)$

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y = (m² + 2)x + m và đường thẳng y = 6x + 2. Tìm m để hai đường thẳng đó song song với nhau.

Câu 5:

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN với các đường tròn (O) (M, N ∈ (O)). Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C phân biệt (B nằm giữa A, C). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a)     Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp được trong đường tròn.

b)     Chứng minh AN² = AB.AC.

c)     Đường thẳng qua B song song với AN cắt đoạn thẳng MN tại E. Chứng minh EH // NC.

Câu 6:

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 0 < x < 1, 0 < y < 1

Chứng minh $x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Phần B. Đáp án

Câu 1

$\begin{array}{l}a)P=\sqrt{2^2.2}-\sqrt{3^2.2}+2\sqrt{4^2.2}=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+8\sqrt{2}=7\sqrt{2}\\ b)Q=\frac{\sqrt{x}-4+\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}.\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}.\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}\\ =\frac{2}{\sqrt{x}-4}\end{array}$

Câu 2

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7\left(1\right)\\ 2x+y=4\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2) suy ra y = 4 – 2x. Thay vào phương trình (1) có phương trình:

3x + 2(4 - 2x) = 7 <=> -x = -1 <=> x = 1 => y = 4 - 2.1 = 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;2)

Câu 3

a)     Khi m = 2 ta có phương trình x² – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)² = 0 ⇔ x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là {2}

b)     Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ⇔ ∆’ = 2² – (m + 2) > 0 ⇔ 2 – m > 0 ⇔ m < 2

Theo Viét ta có: x₁ + x₂ = 4; x₁x₂ = m + 2

$\begin{array}{l}{x_1}^2+{x_1}^2=3(x_1+x_2)\\ <=>{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=3(x_1+x_2)\\ <=>4^2-2(m+2)=3.4\\ <=>-2m=0\\ <=>m=0 \left(TM\right)\end{array}$

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Câu 4

Để hai đường thẳng đã cho song song với nhau, điều kiện cần là m² + 2 = 6 ⇔ m² = 4 ⇔ m = 2 hoặc m = –2

Với m = 2, hai đường thẳng đã cho trở thành y = 6x + 2 và y = 6x + 2 (loại vì chúng trùng nhau)

Với m = –2, hai đường thẳng đã cho trở thành y = 6x – 2 và y = 6x + 2 (thỏa mãn)

Vậy m = –2 là giá trị cần tìm

Câu 5

a)   Vì AN, AM là tiếp tuyến của (O) nên ANO=AMO =90°. Gọi J là trung điểm AO.

Vì H là trung điểm dây BC nên OH ⊥ BC ⇒ AHO = 90°

Suy ra A, O, M, N, H thuộc đường tròn tâm J đường kính AO

Suy ra AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn (J)

b)   Có ANB= ACN (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp)

=> Tam giác ANB đồng dạng với tam giác CAN(g-g)

$=>\frac{AN}{AC}=\frac{AB}{AN}=>A{N}^2=AB.AC$

c)   Gọi I là giao điểm của MN và AC.

Ta có MN là trục đẳng phương của hai đường tròn (J) và (O), I ∈ MN nên phương tích của I đối với (J) và (O) bằng nhau ⇒ $IA.IH=IB.IC=>\frac{IB}{IA}=\frac{IH}{IC}$

Vì BE // AN nên $\frac{IB}{IA}=\frac{IE}{IN}=>\frac{IE}{IN}=\frac{IH}{IC}=>EH//NC$

Câu 6

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (x;x;y;y;x;y) và $(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\sqrt{1-y^2};\sqrt{1-x^2})$ ta có:

$\begin{array}{l}{(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} )}^2\\ \le (x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2)(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+1-y^2+1-x^2)\\ <=>{(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})}^2\le (3x^2+3y^2)(3-x^2-y^2)\\ =>x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le \sqrt{3}\sqrt{(x^2+y^2)(3-x^2-y^2)}\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

$\sqrt{(x^2+y^2)(3-x^2-y^2)}\le \frac{x^2+y^2+3-x^2-y^2}{2}=\frac{3}{2}$

$=>x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu = xảy ra khi x = y = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (Ta có đpcm)

................................................

................................................

................................................

................................................

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Xem thêm các đề thi vào lớp 10 môn Toán hay khác:

• Bộ 10 Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2022 có đáp án
• Bộ 100 Đề thi vào lớp 10 môn Toán THCS Nguyễn Đình Chiểu năm 2022
• Bộ 45 Đề thi vào lớp 10 môn Toán các tỉnh năm 2022
• Bộ 36 Đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán năm 2022

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---