Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn bằng 1

Luyện tập 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

1+2+3+...+n = $\frac{n (n + 1)}{2}$ .

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1 = 1².

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

1 + 2 + 3 + ... + k = $\frac{k (k + 1)}{2}$ .

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

1 + 2 + 3 +...+ k + (k + 1) = $\frac{(k + 1) [(k + 1) + 1]}{2}$ .

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

1 + 2 + 3 +...+ k + (k + 1)

= $\frac{k (k + 1)}{2} + \frac{2 (k + 1)}{2} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1]}{2}$ .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học