Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1+x)^n lớn hơn bằng (1+nx) với mọi số tự nhiên n

Bài 2.5 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có (1 + x)¹ = 1 + x = 1 + 1.x.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: (1 + x)^k ≥ 1+ kx.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

(1 + x)^{k + 1} ≥ 1+ (k + 1)x.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

(1 + x)^{k + 1}

= (1 + x)(1 + x)^k ≥ (1 + x)(1+ kx) = 1 + x + kx + kx² > 1 + x + kx = 1+ (k + 1)x.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học