Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng

Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 1² + 2² + 3² +... + n² = $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .

Lời giải:

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.1 = 1(1 + 1).

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k + 1)[(k + 1) + 1]

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1)

= k(k + 1) + 2(k+1) = (k + 1)(k + 2) = (k + 1)[(k + 1) + 1].

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1² = $\frac{1 (1 + 1) (2.1 + 1)}{6}$ .

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

1² + 2² + 3² +... + k² = $\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$ .

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

1² + 2² + 3² +... + k² + (k + 1)² = $\frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]}{6}$ .

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

1² + 2² + 3² +... + k² + (k + 1)²

= (k + 1)² + $\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$

= $\frac{6 {(k + 1)}^{2}}{6} + \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$

= $\frac{k + 1}{6} [6 (k + 1) + k (2 k + 1)]$

= $\frac{k + 1}{6} [2 k^{2} + 7 k + 6]$

= $\frac{k + 1}{6} (k + 2) (2 k + 3)$

= $\frac{k + 1}{6} [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]$ .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học