Chứng minh rằng n^2 - n + 41 là số lẻ với mọi số nguyên dương n

Bài 2.4 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n² – n + 41 là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1² – 1 + 41 = 41 là số lẻ.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: k² – k + 41 là số lẻ.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (k + 1)² – (k + 1) + 41 là số lẻ.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

(k + 1)² – (k + 1) + 41

= (k² + 2k + 1) – (k + 1) + 41

= k² + k + 41 = (k² – k + 41) + 2k

Vì k² – k + 41 là số lẻ và 2k là số chẵn nên (k² – k + 41) + 2k là số lẻ hay (k + 1)² – (k + 1) + 41 là số lẻ.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học