Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H) x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Trang trước Trang sau

Khám phá 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

a) Chứng minh rằng F₁M² – F₂M² = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₁(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₂ – MF₁ = 2a đã biết để chứng minh $F_{2} + M F_{1} = - 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $F_{1} = - a - \frac{c}{a} x$ ; $F_{2} = a - \frac{c}{a} x .$

c) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₂(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₁ – MF₂ = 2a đã biết để chứng minh $F_{2} + M F_{1} = 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $F_{1} = a + \frac{c}{a} x$ ; $F_{2} = - a + \frac{c}{a} x .$

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H) x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Lời giải:

a) F₁M² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y²;

F₂M² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

F₁M² – F₂M² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4 c x}{2 a}$ = – $\frac{2 c}{a}$ x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = – $\frac{2 c}{a} x$ + (–2a) $\Rightarrow$ 2MF₁ = – $\frac{2 c}{a} x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF₁ = $- (\frac{c}{a} x + a)$ $= - a - \frac{c}{a} x .$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = – $\frac{2 c}{a} x$ – (–2a) $\Rightarrow$ 2MF₂ = – $\frac{2 c}{a} x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x.

c) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4 c x}{2 a}$ = $\frac{2 c}{a} x$ . Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = $\frac{2 c}{a} x$ + 2a $\Rightarrow$ 2MF₁ = $\frac{2 c}{a} x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x.

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = $\frac{2 c}{a} x$ – 2a $\Rightarrow$ 2MF₂ = $\frac{2 c}{a} x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF₂ = – a + $\frac{c}{a}$ x.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học