Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E) x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 có hai tiêu điểm

Trang trước Trang sau

Khám phá 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) (Hình 6)

a) Tính F₁M² và F₂M² theo x, y, c.

b) Chứng tỏ rằng: F₁M² – F₂M² = 4cx, F₁M – F₂M = $2 \frac{c x}{a}$

c) Tính độ dài hai đoạn MF₁ và MF₂ theo a, c, x.

Lời giải:

a) F₁M² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y²;

F₂M² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

b) F₁M² – F₂M² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

F₁M² – F₂M² = 4cx $\Rightarrow$ (F₁M + F₂M)(F₁M – F₂M) = 4cx $\Rightarrow$ 2a(F₁M – F₂M) = 4cx

$\Rightarrow$ F₁M – F₂M = $\frac{4 c x}{2 a}$ = $2 \frac{c x}{a}$ .

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1} M - F_{2} M = \frac{2 c}{a} x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) + (F₁M – F₂M) = 2a + $\frac{2 c}{a} x$ $\Rightarrow$ 2F₁M = 2a + $\frac{2 c}{a} x$ $\Rightarrow$ MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x.

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1} M - F_{2} M = \frac{2 c}{a} x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) – (F₁M – F₂M) = 2a – $\frac{2 c}{a} x$ $\Rightarrow$ 2F₂M = 2a – $\frac{2 c}{a} x$ $\Rightarrow$ MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học