Tìm các điểm trên elip (E) x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất

Bài 2 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Tìm các điểm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất

Lời giải:

Xét điểm M có toạ độ là (x; y).

+) Xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(-a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow a-c\le a+\frac{c}{a}x\le a+c.$

Vậy a – c ≤ MF₁ ≤ a + c.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là –a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng a.

+) Xét khoảng cách từ M đến F₂.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(-a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow c\ge -\frac{c}{a}x\ge -c\Rightarrow a+c\ge a+\frac{c}{a}x\ge a-c.$

Vậy a + c ≥ MF₂ ≥ a – c.

Vậy độ dài MF₂ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng –a.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Khám phá 1 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(0<b<a)$ và cho điểm M(x₀; y₀) nằm trên (E)....

• Thực hành 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 ....

• Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Hãy gấp một mảnh giấy có hình clip (Hình 5) thành bốn phần chồng khít lên nhau.....

• Khám phá 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) (Hình 6)....

• Thực hành 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$....

• Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a) ....

• Khám phá 3 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Cho biết ti số $e=\frac{c}{a}$ của các elip lần lượt là $\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$(Hình 8)....

• Thực hành 3 trang 45 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm tâm sai của elip (E): $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{99}=1$và elip $\left(E^{\text{'}}\right):\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{1}=1$....

• Vận dụng 3 trang 46 Chuyên đề Toán 10: Trong hệ Mặt Trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm....

• Khám phá 4 trang 46 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và hai đường thẳng ${∆}_1=x+\frac{a}{e}=0$; ${∆}_2=x-\frac{a}{e}=0$(Hình 10)....

• Thực hành 4 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:....

• Vận dụng 4 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{50}{3}$....

• Bài 1 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$....

• Bài 3 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{169}{6}$....

• Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$....

• Bài 5 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Trái Đất chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167 và nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm....

• Bài 6 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip (E) nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---