Cho elip (E) x^2/9 + y^2/1 = 1

Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho NF₁ = NF₂.

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho SF₁ = 2SF₂.

Lời giải:

a) Có a² = 9, b² = 1 $\Rightarrow$ a = 3, b = 1 $\Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} .$

Tâm sai của (E) là $e = \frac{c}{a} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) là MF₁ = a + $\frac{c}{a} x$ = 3 + $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .3$ = 3 + $2 \sqrt{2}$ , MF₂ = a – $\frac{c}{a} x$ = 3 – $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .3$ = 3 – $2 \sqrt{2}$

b) Gọi toạ độ của N là (x; y). Khi đó NF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x, NF₂ = a – $\frac{c}{a} x$ .

NF₁ = NF₂ $\Leftrightarrow$ a + $\frac{c}{a} x$ = a – $\frac{c}{a} x$ $\Leftrightarrow$ x = 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix} y = 1 \\ y = - 1 \end{matrix} .$

Vậy có hai điểm N thoả mãn là N₁(0; 1) và N₂(0; –1).

c) Gọi toạ độ của S là (x; y). Khi đó SF₁ = a + $\frac{c}{a} x$ , SF₂ = a – $\frac{c}{a} x$ .

SF₁ = 2SF₂ $\Leftrightarrow$ a + $\frac{c}{a} x$ = 2 $(a - \frac{c}{a} x)$ $\Leftrightarrow 3 \frac{c}{a} x = a \Leftrightarrow x = \frac{a^{2}}{3 c} = \frac{9}{3.2 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ y = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} .$

Vậy có hai điểm S thoả mãn là $S_{1} (\frac{3 \sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ và $S_{2} (\frac{3 \sqrt{2}}{4}; - \frac{\sqrt{3}}{2}) .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học