Xác định các điểm mà đường thẳng đi qua lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định các điểm mà đường thẳng đi qua lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định các điểm mà đường thẳng đi qua.

1. Phương pháp giải

• Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là một đường thẳng.

Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax + by = c.

- Mỗi nghiệm của phương trình ax + 0y = c (a ≠ 0) được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $\left(\frac{c}{a};y_0\right)$ (y₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng d₁: x = $\frac{c}{a}$. Đường thẳng d₁ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{a}$ trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.

- Mỗi nghiệm của phương trình 0x + by = c (b ≠ 0) được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $\left(x_0;\frac{c}{b}\right)$ (x₀ ∈ℝ) nằm trên đường thẳng d₂: y = $\frac{c}{b}$. Đường thẳng d₂ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{b}$ trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.

- Mội nghiệm của phương trình ax + by = c (a ≠ 0, b ≠ 0) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng d₃: y = $-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$.

• Đường thẳng d: ax + by = c luôn đi qua điểm cố định M(x₀; y₀) khi và chỉ khi ax₀ + by₀ = c.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho các điểm A(1; 2), B(2; 3), C(0; 4), D(−2; 1). Trong các điểm trên, điểm nào thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 2x + y = 4?

Hướng dẫn giải

• Thay x = 1, y = 2 vào phương trình 2x + y = 4, ta được: 2.1 + 2 = 4.

Do đó, điểm A(1; 2) thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 2x + y = 4.

• Thay x = 2, y = 3 vào phương trình 2x + y = 4, ta được: 2.2 + 3 = 7 ≠ 4.

Do đó, điểm B(2; 3) không thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 2x + y = 4.

• Thay x = 0, y = 4 vào phương trình 2x + y = 4, ta được: 2.0 + 4 = 4.

Do đó, điểm C(0; 4) thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 2x + y = 4.

• Thay x = −2, y = 1 vào phương trình 2x + y = 4, ta được: 2.(−2) + 1 = −3 ≠ 4.

Do đó, điểm D(−2; 1) thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 2x + y = 4.

Ví dụ 2. Tìm m biết đường thẳng (m – 1)x – (2m – 1)y = −1 – m đi qua điểm A(−1; −1).

Hướng dẫn giải

Thay x = −1, y = −1, ta có:

(m – 1).(−1) – (2m – 1).(−1) = −1 – m

−m + 1 + 2m – 1 = −1 – m

m + m = −1

2m = −1

m = $-\frac{1}{2}.$

Vậy m = $-\frac{1}{2}$ thì đường thẳng đi qua điểm A(−1; −1).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cặp số nào dưới đây là thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19?

A. (2; −3).

B. (1; 1).

C. (1; −2).

D. (12; −1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Thay x = 2, y = −3 vào phương trình 2x – 3y = 19 ta được: 2.2 – 5.(−3) = 19.

Do đó cặp số (2; −3) là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19 nên (2; −3) thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình.

• Thay x = 1, y = 1 vào phương trình 2x – 5y = 19 ta được: 2.1 – 5.1 = 7 ≠ 19.

Do đó, cặp số (1; 1) không là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19.

• Thay x = 1, y = −2 vào phương trình 2x – 5y = 19 ta được: 2.1 – 5.(−2) = 12 ≠ 19.

Do đó, cặp số (1; −2) không là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19.

• Thay x = 12, y = −1 vào phương trình 2x – 5y =19 ta được 2.12 − 5.(−1) = 27 ≠ 19.

Do đó, cặp số (12; −1) không là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 2. Điểm có tọa độ (−2; 2) thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A. 2x – y = 2.

B. 2x + y = 2.

C. 2x – y = 0.

D. 2x + y = −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do 2.(−2) + 2 = −2 nên điểm có tọa độ (−2; 2) thuộc đường thẳng 2x + y = −2.

Bài 3. Cho phương trình (m – 2)x + (m + 1)y = 2m – 1. Giá trị của m để phương trình có nghiệm (2; 3) là

A. m = 0.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thay x = 2, y = 3 vào phương trình (m – 2)x + (m + 1)y = 2m – 1, ta được:

2.(m – 2) + (m + 1).3 = 2m – 1

2m – 4 + 3m + 3 = 2m – 1

5m – 1 = 2m – 1

5m – 2m = −1 + 1

3m = 0

m = 0.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 4. Cho đường thẳng d có phương trình (2m – 1)x + 3(m – 1)y = 4m – 2. Giá trị của m để đường thẳng d song song với trục Ox là:

A. m = 2.

B. m = 1.

C. m = $\frac{1}{2}.$

D. m = $-\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để đường thẳng d song song với trục Ox thì hệ số 2m – 1 = 0 hay m = $\frac{1}{2}.$

Bài 5. Điểm nào dưới đây cùng thuộc hai đường thẳng y = −2x – 1 và y = $-\frac{1}{2}$x + 2?

A. A(2; 3).

B. B(−2; 3).

C. C(3; 2).

D. (3; −2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = −2x – 1 và y = $-\frac{1}{2}$x + 2 là

$-\frac{1}{2}$x + 2 = −2x – 1 hay $-\frac{1}{2}$x + 2x = −1 – 2 suy ra $\frac{3}{2}$x = −3 khi x = −2.

Thay x = −2 vào phương trình y = −2x – 1 được y = 3.

Vậy B(−2; 3) là điểm cùng thuộc hai đường thẳng y = −2x – 1 và y = $-\frac{1}{2}$x + 2.

Bài 6. Tìm giá trị của tham số m để cặp số (2; −1) là nghiệm của phương trình

mx – 5y = 3m – 1?

A. m = 3.

B. m = 2.

C. m = 6.

D. m = −6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay x = 2, y = −1 vào phương trình mx – 5y = 3m – 1, ta được:

2m – 5.(−1) = 3m – 1

3m – 2m = 5 + 1

m = 6.

Vậy chọn đáp án C.

Câu 7. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d có phương trình

(2m – 3)x + (3m – 1)y = m + 2 đi qua gốc tọa độ.

A. m = 2.

B. m = −2.

C. m = $\frac{3}{2}.$

D. m = $\frac{1}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có gốc tọa độ O(0; 0).

Thay x = 0, y = 0 vào phương trình, ta được:

(2m – 3).0 + (3m – 1).0 = m + 2 hay m + 2 = 0 khi m = −2.

Vậy để đường thẳng d đi qua gốc tọa độ thì m = −2.

Bài 8. Tìm giá trị của tham số m để điểm Q(2; 1) thuộc đường thẳng

(2m – 1)x + (3m – 1)y = 6m – 2 ?

A. m = 1.

B. m = −1.

C. m = 0.

D. m = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thay x = 2, y = 1 vào phương trình (2m – 1)x + (3m – 1)y = 6m – 2, ta được:

(2m – 1).2 + (3m – 1).1 = 6m – 2

4m – 2 + 3m – 1 = 6m – 2

7m – 3 = 6m – 2

7m – 6m = −2 + 3

m = 1.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 9.  Khi m thay đổi, đường thẳng m(x – 5) – 2y = 6 luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A. M(5; 3).

B. N(5; −3).

C. P(0; −3)

D. Q(−3; 5).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua.

Ta có: m(x₀ – 5) – 2y₀ = 6

m(x₀ – 5) – 2y₀ – 6 = 0

m(x₀ – 5) + (−2y₀ – 6) = 0

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_0-5=0\\ -2y_0-6=0\end{array}\right.$ được $\left\{\begin{array}{l}{x}_0=5\\ y_0=-3\end{array}\right.$.

Vậy N(5; −3) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi m thay đổi.

Bài 10. Khi m thay đổi, đường thẳng mx – 2y = 6 luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A. A(0; 3).

B. B(3; 0).

C. C(0; −3).

D. D(−3; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả sử M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua.

Ta có: mx₀ – 2y₀ = 6

mx₀ – 2y₀ – 6 = 0

mx₀ + (−2y₀ – 6) = 0

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_0=0\\ -2y_0-6=0\end{array}\right.$suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_0=0\\ y_0=-3\end{array}\right.$.

Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (0; −3) khi m thay đổi.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Xác định cặp số là nghiệm của hệ phương trình
• Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
• Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
• Xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

---