Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm.

1. Phương pháp giải

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Để phương trình bậc hai đã cho thỏa mãn điều kiện nào đó về dấu của các nghiệm, ta có thể dựa vào hệ quả của định lí Viète lập được bảng sau:

? Chú ý:

⦁ Phương trình có nghiệm (có hai nghiệm) khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 (hoặc ∆' ≥ 0);

⦁ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ > 0 (hoặc ∆' > 0).

⦁ Nếu x₁ > α, x₂ > α thì $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-\alpha >0\\ x_2-\alpha >0\end{array}\right.$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}\left(x_1-\alpha \right)+\left(x_2-\alpha \right)>0\\ \left(x_1-\alpha \right)\left(x_2-\alpha \right)>0\end{array}\right..$

⦁ Nếu x₁ < α, x₂ < α thì $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-\alpha <0\\ x_2-\alpha <0\end{array}\right.$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}\left(x_1-\alpha \right)+\left(x_2-\alpha \right)<0\\ \left(x_1-\alpha \right)\left(x_2-\alpha \right)>0\end{array}\right..$

⦁ Nếu x₁ < α < x₂ thì $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-\alpha <0\\ x_2-\alpha >0\end{array}\right.$ suy ra $\left(x_1-\alpha \right)\left(x_2-\alpha \right)<0.$

⦁ Nếu x₁, x₂ ở dạng căn bậc hai, ở mẫu thức, … ta cần thêm điều kiện phụ tương ứng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xác định tham số m sao cho phương trình 2x² – (3m + 1)x + m² – m – 6 = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình 2x² – (3m + 1)x + m² – m – 6 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x.

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì tích hai nghiệm là một số âm, tức là $\frac{c}{a}=\frac{m^2-m-6}{2}<0.$

Giải bất phương trình:

$\frac{m^2-m-6}{2}<0$

m² – m – 6 < 0

m² – 3m + 2m – 6 < 0

m(m – 3) + 2(m – 3) < 0

(m – 3)(m + 2) < 0

m – 3 < 0 và m + 2 > 0 (do m – 3 < m + 2)

m < 3 và m > –2

–2 < m < 3

Vậy với –2 < m < 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (m + 3)x² – (2m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm dương.

Hướng dẫn giải

Để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ đều dương thì: $\left\{\begin{array}{l}a=m+3\ne 0\left(1\right)\\ \Delta \ge 0\left(2\right)\\ x_1+x_2>0\left(3\right)\\ x_1{x}_2>0\left(4\right)\end{array}\right.$

– Xét (1): a = m + 3 ≠ 0 nên m ≠ –3.

– Xét (2): ∆ ≥ 0 tức là (2m + 1)² – 4.(m + 3).m ≥ 0

Hay 4m² + 4m + 1 – 4m² – 12m ≥ 0

        1 – 8m ≥ 0

        – 8m ≥ –1

      $m\le \frac{1}{8}.$

– Xét (3): x₁ + x₂ > 0 tức là $\frac{2m+1}{m+3}>0.$ Ta xét hai trường hợp sau:

⦁ Trường hợp 1. 2m + 1 > 0 và m + 3 > 0

                Suy ra $m>-\frac{1}{2}$ và m > –3

                Do đó $m>-\frac{1}{2}.$

⦁ Trường hợp 2. 2m + 1 < 0 và m + 3 < 0

                Suy ra $m<-\frac{1}{2}$ và m < –3

                Do đó m < –3.

– Xét (4): x₁.x₂ > 0 tức là $\frac{m}{m+3}>0.$ Ta xét hai trường hợp sau:

⦁ Trường hợp 1. m > 0 và m > –3

                Suy ra m > 0 và m > –3

                Do đó m > 0.

⦁ Trường hợp 2. m < 0 và m < –3

                Suy ra m < 0 và m < –3

                Do đó m < –3.

Kết hợp 4 điều kiện (1), (2), (3), (4) ta được: m < –3 hoặc $0<m\le \frac{1}{8}.$

Vậy m < –3 hoặc $0<m\le \frac{1}{8}$ là giá trị cần tìm.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình nào sau đây luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi tham số m?

A. x² + 2(m + 1)x + m² + 1 = 0.

B. x² + 2(m +1)x + m² – 1 = 0.

C. x² + 2(m + 1)x + 1 = 0.

D. x² + 2(m +1)x – m² – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình x² + 2(m +1)x – m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có $\frac{c}{a}=-m^2-1.$

Với mọi m, ta có: m² ≥ 0, nên –m² – 1 < 0, hay $\frac{c}{a}<0.$

Vậy phương trình này có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

Bài 2. Giá trị của m để phương trình x² – 2(m – 3)x + 8 – 4m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm âm phân biệt là

A. m < 2 và m ≠ 1.

B. m < 3.

C. m < 2.

D. m > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² – 2(m – 3)x + 8 – 4m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 3)]² – 1.(8 – 4m) = m² – 6m + 9 – 8 + 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)².

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì $\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ S<0\\ P>0\end{array}\right.$ tức là $\left\{\begin{array}{l}{\left(m-1\right)}^2>0\left(1\right)\\ 2\left(m-3\right)<0\left(2\right)\\ 8-4m>0\left(3\right)\end{array}\right.$

⦁ Giải (1):

(m – 1)² > 0

(m – 1)² ≠ 0

m – 1 ≠ 0

m ≠ 1.

⦁ Giải (2):

2(m – 3) < 0

m – 3 < 0

m < 3.

⦁ Giải (3):

8 – 4m > 0

– 4m > –8

m < 2.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m < 2 và m ≠ 1.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 3. Số các giá trị nguyên của m để phương trình x² – 6x + 2m + 1 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm dương phân biệt là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – 6x + 2m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = (–3)² – 1.(2m + 1) = 9 – 2m – 1 = 8 – 2m.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì $\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.$ tức là $\left\{\begin{array}{l}8-2m>0\\ 6>0\\ 2m+1>0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}-2m>-8\\ 2m>-1\end{array}\right.$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}m<4\\ m>-\frac{1}{2}\end{array}\right.$ nên $-\frac{1}{2}<m<4.$

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1; 2; 3}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4. Cho phương trình x² + (3m – 1)x + m² = 0 (với m là tham số). Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt là

A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² + (3m – 1)x + m² = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = (3m – 1)² – 4.1.m² = 9m² – 6m + 1 – 4m² = 5m² – 6m + 1.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì $\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S<0\\ P>0\end{array}\right.$ tức là $\left\{\begin{array}{l}5m^2-6m+1>0\left(1\right)\\ -\left(3m-1\right)<0\left(2\right)\\ m^2>0\left(3\right)\end{array}\right.$

Giải (3):

m² > 0

m ≠ 0.

Giải (2):

–(3m – 1) < 0

3m – 1 > 0

$m>\frac{1}{3}.$

Giải (1):

5m² – 6m + 1 > 0

(5m – 1)(m – 1) > 0

5m – 1 < 0 hoặc m – 1 > 0

$m<\frac{1}{5}$ hoặc m > 1.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m ≠ 0, $m<\frac{1}{5}$ hoặc m > 1.

Mà m là số nguyên nhỏ nhất nên m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 5. Giá trị của m để phương trình mx² – 2(m – 2)x + 3(m – 2) = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là

A. m < 0.

B. m > 1.

C. –1 < m < 0.

D. m > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để phương trình mx² – 2(m – 2)x + 3(m – 2) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì $\left\{\begin{array}{l}a=m\ne 0\\ {\Delta }^{\text{'}}>0\left(1\right)\\ P>0\left(2\right)\end{array}\right.$

⦁ Giải (1): Với m ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 2)]² – m.3(m – 2) = m² – 4m + 4 – 3m² + 6m

= –2m² + 2m + 4 = –2(m² – m – 2) = –(m – 2)(m + 1).

Ta có: ∆' > 0 thì

–(m – 2)(m + 1) > 0

(m – 2)(m + 1) < 0

m – 2 < 0 và m + 1 > 0 (do m – 2 < m + 1)

m < 2 và m > –1

–1 < m < 2.

⦁ Giải (2):

P > 0

$\frac{3\left(m-2\right)}{m}>0$

m < 0 (do ở điều kiện (1), ta đã kết luận m – 2 < 0).

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: –1 < m < 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 6. Giá trị của m để phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau là

A. m = 1.

B. m = –1.

C. m = $\frac{1}{2}.$

D. m = $-\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn, có hai nghiệm trái dấu khi $P=\frac{m-1}{2}<0,$ tức là m < 1.

Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau, tức chúng là số đối của nhau nên $S=-\frac{2m-1}{2}=0,$ suy ra 2m – 1 = 0 nên $m=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Bài 7. Cho phương trình x² – (m – 3)x – m + 2 = 0 (với m là tham số). Giá trị của m để phương trình trên có ít nhất một nghiệm không âm là

A. m > 2.

B. m ≥ 2.

C. m < 2.

D. m ≤ 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – (m – 3)x – m + 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có a = 1, b = – (m – 3), c = – m + 2.

Ta có: a – b + c = 1 – [– (m – 3)] + (–m + 2) = 1 + m – 3 – m + 2 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là: x₁ = –1, x₂ = m – 2.

Khi đó, để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm thì x₂ ≥ 0, tức là m – 2 ≥ 0, hay m ≥ 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 8. Cho phương trình x² + (m + 2)x – m – 4 = 0 (với m là tham số). Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 0 ≤ x₂ là

A. m > –4.

B. m ≥ –4.

C. m < –4.

D. m ≤ –4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình x² + (m + 2)x – m – 4 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (m + 2)² – 4.1.(– m – 4) = m² + 4m + 4 + 4m + 16

   = m² + 8m + 20 = (m + 4)² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Trường hợp 1. x₂ = 0 thay vào phương trình đã cho ta được:        

0² + (m + 2).0 – m – 4 = 0, suy ra m = –4.

Thay m = –4 vào phương trình đã cho ta được:

x² + (–4 + 2)x – (–4) – 4 = 0

x² – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Khi đó x₁ = 2, x₂ = 0 không thỏa mãn x₁ < 0 ≤ x₂.

Trường hợp 2. x₁ < 0 < x₂ thì x₁x₂ < 0 tức là $\frac{-m-4}{1}<0,$ suy ra m > –4.

Kết hợp hai trường hợp ta được m > –4.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 9. Cho phương trình x⁴ – 6x² + m = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt?

A. 0.

B. 3.

C. 5.

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x⁴ – 6x² + m = 0.

Đặt x² = t (t ≥ 0) ta có phương trình t² – 6t + m = 0 (với m là tham số) là phương trình bậc hai ẩn t có:

∆' = (–3)² – m = 9 – m.

Phương trình x⁴ – 6x² + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t² – 6t + m = 0 có hai nghiệm dương t₁, t₂ phân biệt, tức là $\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ t_1+t_2>0\\ t_1{t}_2>0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}9-m>0\\ 6>0\\ m>0\end{array}\right.$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}m<9\\ m>0\end{array}\right.$ nên 0 < m < 9.

Mà m là số nguyên nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 10. Cho phương trình x² – (2m – 3)x + m² – 3m = 0 (với m là tham số). Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 1 < x₁ < x₂ < 6 là

A. m < 6.

B. m > 4.

C. –4 ≤ m ≤ 6.

D. 4 < m < 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x² – (2m – 3)x + m² – 3m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = [–(2m – 3)]² – 4.1.(m² – 3m) = 4m² – 12m + 9 – 4m² + 12m = 9 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-3\\ x_1{x}_2=m^2-3m\end{array}\right..$

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra 1 < x₁ + x₂ < 12

Do đó 1 < 2m – 3 < 12

Nên 4 < 2m < 15

Suy ra $2<m<\frac{15}{2}.$

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra x₁ – 1 > 0 và x₂ – 1 > 0

Do đó (x₁ – 1)(x₂ – 1) > 0

x₁x₂ – x₁ – x₂ + 1 > 0

x₁x₂ – (x₁ + x₂) + 1 > 0

m² – 3m – (2m – 3) + 1 > 0

m² – 5m + 4 > 0

(m – 1)(m – 4) > 0

m – 1 < 0 hoặc m – 4 > 0 (do m – 4 < m – 1)

m < 1 hoặc m > 4.

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra x₁ – 6 < 0 và x₂ – 6 < 0

Do đó (x₁ – 6)(x₂ – 6) > 0

x₁x₂ – 6(x₁ – x₂) + 36 > 0

m² – 3m – 6(2m – 3) + 36 > 0

m² – 3m – 12m + 18 + 36 > 0

m² – 15m + 54 > 0

(m – 6)(m – 9) > 0

m – 6 < 0 hoặc m – 9 > 0 (do m – 9 < m – 6)

m < 6 hoặc m > 9.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: 4 < m < 6.

Vậy ta chọn phương án D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác
• Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Xác định hành động là phép thử ngẫu nhiên
• Xác định không gian mẫu của phép thử ngẫu nhiên

---