Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số.

1. Phương pháp giải

1.1. Bài toán tìm tham số để đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) cắt nhau tại hai điểm (phân biệt) A, B thỏa mãn biểu thức cho trước

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nếu có. Khi đó, ta có:

ax² = mx + n hay ax² – mx – n = 0 (*)

Bước 2. Tìm điều kiện để (d) cắt (P) tại hai điểm (phân biệt) A và B:

        ⦁ (d) cắt (P) tại hai điểm A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm x₁, x₂, tức là ∆ ≥ 0 (hoặc ∆' ≥ 0).

        ⦁ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt, tức là ∆ > 0 (hoặc ∆' > 0).

Bước 3. Giả sử A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂). Ta xét các loại biểu thức sau:

        ⦁ Biểu thức đối xứng đối với hai hoành độ x₁ và x₂: Biến đổi thành biểu thức chứa x₁ + x₂ và x₁.x₂ → Kết hợp định lí Viète → Giải ra tham số m, đối chiếu với điều kiện ở Bước 2.

        ⦁ Biểu thức không đối xứng đối với hai hoành độ x₁ và x₂: Kết hợp biểu thức đã cho với  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ để giải x₁, x₂ theo tham số → Thay x₁, x₂ vừa giải được vào $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ → Giải ra tham số m, đối chiếu với điều kiện ở Bước 2.

        Nếu tính ∆ hoặc ∆’ mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. Xét $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ và $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Trường hợp 2. Xét $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ và $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Từ đó thay các giá trị vào biểu thức đã cho, ta tìm được giá trị của tham số m.

        ⦁ Biểu thức có chứa tung độ của hai điểm y₁, y₂: Tính y₁ theo x₁; y₂ theo x₂ theo hàm số của đường thẳng (d) hoặc hàm số của parabol (P) → Bài toán quy về biểu thức chứa x₁, x₂ và cách giải giống hai trường hợp kể trên.

        ⦁ Biểu thức chứa $x_1^2,x_2^2$: Do x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a{x}_1^2+b{x}_1+c=0\\ a{x}_2^2+b{x}_2+c=0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}a{x}_1^2=-b{x}_1-c\\ a{x}_2^2=-b{x}_2-c.\end{array}\right.$

→ Thay $x_1^2$ theo x₁; thay $x_2^2$ theo x₂ vào biểu thức đã cho và kết hợp với định lí Viète để tìm giá trị của m.

? Chú ý:

– Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ:

⦁ Hai điểm A và B nằm bên phải trục Oy khi x₁, x₂ cùng dương: x₁ + x₂ > 0; x₁x₂ > 0.

⦁ Hai điểm A và B nằm bên trái trục Oy khi x₁, x₂ cùng âm: x₁ + x₂ < 0; x₁x₂ > 0.

⦁ Hai điểm A và B nằm cùng một phía với trục Oy khi x₁, x₂ cùng dấu: x₁x₂ > 0.

⦁ Hai điểm A và B nằm về hai phía với trục Oy khi x₁, x₂ trái dấu: x₁x₂ < 0.

– Một số biến đổi cần nhớ:

⦁ $x_1^2+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2$$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2.$

⦁ $x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$$=\left(x_1+x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\right].$

Hoặc $x_1^3+x_2^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2$$={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right).$

⦁ $x_1^4+x_2^4={\left(x_1^2\right)}^2+{\left(x_2^2\right)}^2$$={\left(x_1^2+x_2^2\right)}^2-2x_1^2{x}_2^2.$

⦁ $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}.$

⦁ |x₁ – x₂| → Ta xét |x₁ – x₂|² = (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂.

⦁ |x₁| + |x₂| → Ta xét ${\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)}^2={\left|x_1\right|}^2+{\left|x_2\right|}^2+2\left|x_1\right|\cdot \left|x_2\right|$$=x_1^2+x_2^2+2\left|x_1{x}_2\right|.$

⦁ |A|² = A²;

|A + B|² = (A + B)²;

|A – B|² = (A – B)²;

|AB| = |A|.|B|.

1.2. Bài toán có yếu tố hình học (độ dài đoạn thẳng, diện tích tam giác, ...)

Để giải được bài toán này, ta cần nắm được một số công thức về khoảng cách sau:

– Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm thuộc trục Ox, Oy hoặc đến một điểm bất kì:

⦁ Nếu A(a; 0) ∈ Ox thì OA = |x_A| = |a|.

⦁ Nếu B(0; b) ∈ Oy thì OB = |y_B| = |b|.

⦁ Nếu M(a; b) bất kì thì $OM=\sqrt{a^2+b^2}$ (áp dụng định lí Pythagore).

– Khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một trục Ox hoặc Oy

⦁ Nếu A, B ∈ Ox (hoặc AB // Ox) thì AB = |x_A – x_B|.

⦁ Nếu M, N ∈ Oy (hoặc MN // Oy) thì MN = |y_M – y_N|.

– Khoảng cách từ một điểm đến trục Ox hoặc Oy:

Cho điểm M ∉ Ox, Oy.

⦁ Kẻ MH ⊥ Ox tại H thì MH = |y_M|.

⦁ Kẻ MK ⊥ Oy tại K thì MK = |x_M|.

– Khoảng cách giữa hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) bất kì:

(Công thức này cần chứng minh lại khi sử dụng)

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x_A – x_H| = |x_A – x_B|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y_A – y_H| = |y_A – y_B|.

⦁ $AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}$$=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

? Chú ý: Hình vẽ chỉ minh họa cho trường hợp hai điểm A, B cùng nằm ở góc phần tư thứ nhất. Các trường hợp khác cần vẽ hình tương ứng, tuy nhiên các công thức trên vẫn đúng cho mọi trường hợp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 5 (với m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho $x_1^2+x_2^2$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2(m – 1)x – 2m + 5 hay x² – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = [–(m – 1)]² – 1.(2m – 5) = m² – 2m + 1 – 2m + 5

    = m² – 4m + 6 = (m – 2)² + 2 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=2m-5.\end{array}\right.$

Theo bài, ta có:

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

= (2m – 2)² – 2.(2m – 5)

= 4m² – 8m + 4 – 4m + 10

= 4m² – 12m + 14

= (2m – 3)² + 5 ≥ 5 với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi (2m – 3)² = 0, tức là 2m – 3 = 0 hay $m=\frac{3}{2}.$

Vậy $x_1^2+x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi $m=\frac{3}{2}.$

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 10mx – 9m (với m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện $x_1^2-\left(10m-1\right)x_1+9m-9x_2=0.$

Hướng dẫn giải:

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 10mx – 9m hay x² – 10mx + 9m = 0. (*)

Ta có ∆' = (–5m)² – 1.9m = 25m² – 9m.

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì ∆' > 0, tức là 25m² – 9m > 0 hay m(25m – 9) > 0.

Giải bất phương trình:

m(25m – 9) > 0

Trường hợp 1. m > 0 và 25m – 9 > 0

             Suy ra m > 0 và $m>\frac{9}{25}$

             Do đó $m>\frac{9}{25}$

Trường hợp 2. m < 0 và 25m – 9 < 0

             Suy ra m < 0 và $m<\frac{9}{25}$

             Do đó m < 0.

Như vậy, để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì m < 0 hoặc $m>\frac{9}{25}.$  (**)

⦁ Do đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ nên x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Khi đó ta có $x_1^2-10m{x}_1+9m=0$ hay $x_1^2=10m{x}_1-9m.$

Ta có $x_1^2-\left(10m-1\right)x_1+9m-9x_2$

$=10m{x}_1-9m-10m{x}_1+x_1+9m-9x_2$

$=x_1-9x_2.$

Theo bài, $x_1^2-\left(10m-1\right)x_1+9m-9x_2=0$ nên x₁ – 9x₂ = 0, suy ra x₁ = 9x₂.

Theo định lí Viète, ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=10m\left(1\right)\\ x_1{x}_2=9m\left(2\right)\end{array}\right.$

Thay x₁ = 9x₂ vào (1) ta được 9x₂ + x₂ = 10m hay 10x₂ = 10m nên x₂ = m.

Từ đó suy ra x₁ = 9x₂ = 9m.

Thay x₁ = 9m và x₂ = m vào (2) ta được: 9m.m = 9m hay 9m(m – 1) = 0

Suy ra m = 0 (không thỏa mãn (**)) hoặc m = 1 (thỏa mãn (**)).

Vậy m = 1.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B là hai giao điểm của parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 3 (với m là tham số).

a) Tìm m để AB ngắn nhất.

b) Tính diện tích tam giác OAB theo m.

Hướng dẫn giải

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = mx + 3 hay x² – mx – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = (–m)² – 4.1.(–3) = m² + 12 > 0 với mọi m nên phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B).

Do đó ta có y_A = mx_A + 3 và y_B = mx_B + 3.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=m\\ x_A{x}_B=-3.\end{array}\right.$

a) Ta có AB² = (x_A – x_B)² + (y_A – y_B)²

= (x_A – x_B)² + (mx_A + 3 – mx_B – 3)²

= (x_A – x_B)² + m²(x_A – x_B)²

= (x_A – x_B)²(1 + m²)

= (m² + 1)[(x_A + x_B)² – 4x_Ax_B]

= (m² + 1)[m² – 4.(–3)]

= (m² + 1)(m² + 12)

= m⁴ + 13m² + 12.

Với mọi m ta luôn có m⁴ ≥ 0; m² ≥ 0

Suy ra m⁴ + 13m² + 12 ≥ 12 hay AB² ≥ 12

Do đó $AB\ge 2\sqrt{3}$ (do AB > 0). Dấu “=” xảy ra khi m = 0.

Vậy m = 0 thì $A{B}_{\min }=2\sqrt{3}.$

? Chú ý: Cần chứng minh công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì như trong phần phương pháp khi sử dụng.

b)

Phân tích: Để tính diện tích S_AOB có thể có nhiều cách, nhưng nếu để ý thấy (d) luôn đi qua điểm cố định I, khi đó tính S_AOB = S_AOI + S_BOI sẽ nhanh hơn.

⦁ Gọi I(x_I; y_I) là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = mx + 3 luôn đi qua với mọi m.

Đường thẳng (d): y = mx + 3 luôn đi qua điểm I(x_I; y_I) với mọi m nên ta có:

y_I = mx_I + 3 đúng với mọi m.

Hay x_I.m + (3 – y_I) = 0 đúng với mọi m

Suy ra x_I = 0 và 3 – y_I = 0

Do đó x_I = 0 và y_I = 3.

Vậy I(0; 3) là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = mx + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m.

⦁ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A, B trên Oy.

Ta có $S_{AOB}=S_{AOI}+S_{BOI}$$=\frac{1}{2}OI\cdot AH+\frac{1}{2}OI\cdot BK$ $=\frac{1}{2}OI\left(AH+BK\right)=\frac{1}{2}OI\left(\left|x_A\right|+\left|x_B\right|\right).$

Với I(0; 3) ta có OI = 3.

Lại có (|x_A| + |x_B|)²

= (x_A + x_B)² – 2x_Ax_B + 2|x_Ax_B|

= m² – 2.(–3) + 2.|–3| = m² + 12 > 0 với mọi m.

Suy ra $\left|x_A\right|+\left|x_B\right|=\sqrt{m^2+12}.$

Vậy $S_{AOB}=\frac{1}{2}OI\left(\left|x_A\right|+\left|x_B\right|\right)$$=\frac{3}{2}\sqrt{m^2+12}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m – 2)x + 3m (với m là tham số). Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung là

A. m > 3.

B. m < 3.

C. m > 2.

D. m > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m – 2)x + 3m hay x² − (m – 2)x − 3m = 0. (*)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là −3m < 0, hay m > 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 (với m là tham số). Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung là

A. m < 0 và m ≠ –2.

B. m < –1 và m ≠ –2.

C. m > –1.

D. m ≥ –2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = mx + m + 1 hay x² – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)² – 4.1.(–m – 1) = m² + 4m + 4 = (m + 2)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2 =m\\ x_1{x}_2=-m-1\end{array}\right..$

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là $\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2 <0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.,$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}{\left(m+2\right)}^2>0\\ m<0\\ -m-1>0\end{array}\right.,$ nên $\left\{\begin{array}{l}m+2\ne 0\\ m<0\\ m<-1\end{array}\right.,$ do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = –3x + 1 và parabol (P): y = mx² (với m là tham số và m ≠ 0). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía đối với trục tung?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

mx² = –3x + 1 hay mx² + 3x – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = 3² – 4.m.(–1) = 9 + 4m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía đối với trục tung thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ cùng dấu, tức là $\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}9+4m>0\\ \frac{-1}{m}>0\end{array}\right.,$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}m>-\frac{9}{4}\\ m<0\end{array}\right.$ do đó $-\frac{9}{4}<m<0.$

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta có $-\frac{9}{4}<m<0.$

Mà m là số nguyên nên ta có m ∈ {–2; –1}.

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn tổng tung độ hai giao điểm không vượt quá 9?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2mx – 2m + 3 hay x² − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)² – 1.(2m – 3) = m² – 2m + 3 = (m – 1)² + 2 > 0, với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Khi đó, ta có: $y_1=x_1^2;y_2=x_2^2.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2 =2m\\ x_1{x}_2=2m-3\end{array}\right..$

Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y₁ + y₂ ≤ 9, suy ra $x_1^2+x_2^2\le 9$

Ta có:

$x_1^2+x_2^2\le 9$

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ ≤ 9

(2m)² – 2.(2m – 3) ≤ 9

4m² – 4m – 3 ≤ 0

(4m² – 6m) + (2m – 3) ≤ 0

2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0

(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0

2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).

$m\le \frac{3}{2}$ và $m\ge -\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\le m\le \frac{3}{2}$

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2mx + 4 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-3?$

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2mx + 4 hay x² − 2mx – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)² – 1.(−4) = m² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt hay đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2 =2m\\ x_1{x}_2=-4\end{array}\right..$

Theo bài, ta có:

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-3$

$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}=-3$

$\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=-3$

$\frac{{\left(2m\right)}^2-2\cdot \left(-4\right)}{-4}=-3$

4m² + 8 = 12

4m² = 4

m² = 1

m = 1 hoặc m = −1.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P):$y=-\frac{1}{4}{x}^2$ và đường thẳng (d): $y=-\frac{1}{2}x+m$ (với m là tham số). Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn 3x₁ + 5x₂ = 5 là

A. $m=-\frac{5}{16}.$

B. $m=\frac{5}{16}.$

C. $m=-\frac{5}{4}.$

D. $m=\frac{5}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

$-\frac{1}{4}{x}^2=-\frac{1}{2}x+m$ hay x² – 2x + 4m = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−1)² – 1.4m = 1 – 4m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, tức là ∆' > 0, hay 1 – 4m > 0, nên $m<\frac{1}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(1\right)\\ x_1{x}_2=4m\left(2\right)\end{array}\right..$

Từ (1), ta có x₂ = 2 – x₁, thay vào 3x₁ + 5x₂ = 5, ta được:

3x₁ + 5(2 – x₁) = 5

3x₁ + 10 – 5x₁ = 5

–2x₁ = –5

$x_1=\frac{5}{2}.$

Khi đó, $x_2=2-x_1=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}.$

Thay $x_1=\frac{5}{2}$ và $x_2=-\frac{1}{2}$ vào (2), ta được:

$\frac{5}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=4m$ hay $4m=-\frac{5}{4}$ nên $m=-\frac{5}{16}$ (thỏa mãn $m<\frac{1}{4}).$

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = −2(m – 2)x + m² (với m là tham số). Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (x₁; y₁) và (x₂; y₂) với x₁ < x₂ thỏa mãn |x₁| – |x₂| = 6 là

A. m = –1.

B. m = 1.

C. m = –5.

D. m = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = −2(m – 2)x + m² hay x² + 2(m – 2)x – m² = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (m – 2)² – 1.(–m²) = m² – 4m + 4 + m²

    = 2m² – 4m + 4 = 2(m – 1)² + 2 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (x₁; y₁) và (x₂; y₂).

Theo định lí Viète ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\left(m-2\right)\\ x_1{x}_2=-m^2\end{array}\right..$

Mà –m² ≤ 0 với mọi m, nên x₁x₂ ≤ 0.

Lại có x₁ < x₂ (theo đề bài) nên x₁ ≤ 0 và x₂ ≥ 0.

Do đó |x₁| = –x₁; |x₂| = x₂.

Khi đó: |x₁| – |x₂| = –x₁ – x₂ = –(x₁ + x₂).

Theo bài, |x₁| – |x₂| = 6 nên –(x₁ + x₂) = 6

Suy ra 2(m – 2) = 6 nên m – 2 = 3, do đó m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m + 2)x + 3 hay x² – (m + 2)x – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m + 2)]² – 4.1.(–3) = (m + 2)² + 12 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=-3.\end{array}\right.$

Theo bài, x₁ ∈ ℤ, x₂ ∈ ℤ nên x₁, x₂ ∈ Ư(–3) = {1; –1; 3; –3}.

Ta có bảng sau:

Từ bảng, ta có: m ∈ {0; –4}.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – m – 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là $\sqrt{10}?$

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2(m – 1)x – m – 5 hay x² – 2(m – 1)x + m + 5 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = [–(m – 1)]² – 1.(m + 5) = m² – 2m + 1 – m – 5 = m² – 3m – 4.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, tức là ∆' > 0, hay m² – 3m – 4 > 0.

Giải bất phương trình:

m² – 3m – 4 > 0

m² – 4m + m – 4 > 0

m(m – 4) + (m – 4) > 0

(m – 4)(m + 1) > 0

⦁ Trường hợp 1. m – 4 > 0 và m + 1 > 0

                Suy ra m > 4 và m > –1

                Do đó m > 4.

⦁ Trường hợp 2. m – 4 < 0 và m + 1 < 0

                Suy ra m < 4 và m < –1

                Do đó m < –1.

Như vậy, với m < –1 hoặc m > 4 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=m+5\end{array}\right..$

Để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x₁ > 0 và x₂ > 0.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.,$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}2\left(m-1\right)>0\\ m+5>0\end{array}\right.$ do đó $\left\{\begin{array}{l}m>1\\ m>-5\end{array}\right.$ nên m > 1.

Kết hợp các điều kiện tìm được ở trên, ta có: m > 4.

Do x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là $\sqrt{10}$ nên áp dụng định lí Pythagore ta có:

$x_1^2+x_2^2=10$

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 10

[2(m – 1)]² – 2.(m + 5) = 10

4m² – 8m + 4 – 2m – 10 = 10

4m² – 10m – 16 = 0

2m² – 5m – 8 = 0

Phương trình trên có ∆_m = (–5)² – 4.2.(–8) = 89 > 0.

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

$m_1=\frac{5+\sqrt{89}}{4};m_2=\frac{5-\sqrt{89}}{4}.$

Kết hợp điều kiện m > 4, ta thấy cả hai giá trị m tìm được ở trên đều không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m – 3)x – m + 4 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m – 3)x – m + 4 hay x² – (m – 3)x + m – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m – 3)]² – 4.1.(m – 4) = m² – 6m + 9 – 4m + 16

   = m² – 10m + 25 = (m – 5)² ≥ 0 với mọi m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt có hoành độ x₁, x₂, tức là ∆ > 0, hay (m – 5)² > 0, suy ra (m – 5)² ≠ 0, do đó m – 5 ≠ 0 nên m ≠ 5.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-3\\ x_1{x}_2=m-4\end{array}\right..$

Để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x₁ > 0 và x₂ > 0.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.,$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}m-3>0\\ m-4>0\end{array}\right.$ do đó $\left\{\begin{array}{l}m>3\\ m>4\end{array}\right.$ nên m > 4.

Vì ∆ = (m – 5)² nên hai nghiệm của phương trình (*) là:

$x=\frac{m-3-\left(m-5\right)}{2\cdot 1}=1;x=\frac{m-3+\left(m-5\right)}{2\cdot 1}$$=m-4.$

Do x₁ ≠ x₂ nên x₁, x₂ không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

Giả sử x₁ là độ dài cạnh huyền, x₂ là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Pythagore, ta có $x_1^2=x_2^2+x_2^2$

Suy ra $x_1=\sqrt{2}{x}_2$ (do x₁ > 0 và x₂ > 0).

⦁ Trường hợp 1. x₁ = 1 và x₂ = m – 4.

Thay vào $x_1=\sqrt{2}{x}_2,$ ta có:

$1=\sqrt{2}\left(m-4\right),$ suy ra $m=\frac{1}{\sqrt{2}}+4$ (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

⦁ Trường hợp 2. x₁ = m – 4 và x₂ = 1.

Thay vào $x_1=\sqrt{2}{x}_2,$ ta có:

$m-\text{4 = }\sqrt{2}\cdot 1,$ suy ra $m=\sqrt{2}+4$ (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là $m=\frac{1}{\sqrt{2}}+4,m=\sqrt{2}+4.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Xác định hành động là phép thử ngẫu nhiên
• Xác định không gian mẫu của phép thử ngẫu nhiên
• Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố
• Tính xác suất của biến cố liên quan đến phép thử khi các kết quả của phép thử đồng khả năng

---