Giải phương trình tích hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình tích lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Giải phương trình tích hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình tích lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải phương trình tích hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình tích.

1. Phương pháp giải

• Để giải phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0, ta giải hai phương trình

ax + b = 0 và cx + d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

• Để đưa phương trình về dạng phương trình tích, ta làm như sau:

- Bước 1: Chuyển vế, phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

- Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) (x – 3)(3x + 2) = 0;            

b) (x² + 2024)(6x – 3) = 0;     

c) 2(x + 4)(2x + 3) = 0.

Hướng dẫn giải

a) (x – 3)(3x + 2) = 0

TH1: x – 3 = 0 khi x = 3.

TH2: 3x + 2 = 0 khi x = $-\frac{2}{3}$.

Vậy x = 3 hoặc x = $-\frac{2}{3}$.

b) (x² + 2024)(6x – 3) = 0

TH1: x² + 2024 = 0 khi x² = −2024 (vô lí do x² ≥ 0).

TH2: 6x – 3 = 0 khi x = $\frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là x = $\frac{1}{2}$.

c) 2(x + 4)(2x + 3) = 0

TH1: x – 4 = 0 khi x = 4.

TH2: 2x + 3 = 0 khi x = $-\frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 hoặc x = $-\frac{3}{2}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) x² + 7x + 12 = 0;

b) 3x² – 5x + 2 = 0;

c) (x – 2)(3x + 5) = (2x – 4)(x + 1).

Hướng dẫn giải

a) x² + 7x + 12 = 0

x² + 3x + 4x + 12 = 0

x(x + 3) + 4(x + 3) = 0

(x + 3)(x + 4) = 0

TH1: x + 3 = 0 khi x = −3.

TH2: x + 4 = 0 khi x = −4.

Vậy nghiệm của phương trình là {−3; −4}.

b) 3x² – 5x + 2 = 0

3x² – 3x – 2x + 2 = 0

3x(x – 1) – 2(x – 1) = 0

(x – 1)(3x – 2) = 0

TH1: x – 1 = 0 khi x = 1.

TH2: 3x – 2 = 0 khi x = $\frac{2}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 hoặc x = $\frac{2}{3}$.

b) (x – 2)(3x + 5) = (2x – 4)(x + 1)

(x – 2)(3x + 5) – (2x – 4)(x + 1) = 0

(x – 2)(3x + 5) – 2(x – 2)(x + 1) = 0

(x – 2)(3x + 5 – 2x – 2) = 0

(x – 2) (x + 3) = 0

TH1: x – 2 = 0 khi x = 2.

TH2: x + 3 = 0 khi x = −3.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 hoặc x = −3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình (5x – 7)(2x – 6) = 0 có nghiệm là

A.x = 3 hoặc x = $\frac{7}{5}$.

B.x = 3 và x = $\frac{7}{5}$.

C. x = 3.

D. x = $\frac{7}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: (5x – 7)(2x – 6) = 0

TH1: 5x – 7 = 0 khi x = $\frac{7}{5}$.

TH2: 2x – 6 = 0 khi x = 3.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 hoặc x = $\frac{7}{5}$.

Bài 2. Nghiệm của phương trình (x² + x + 1)(6 – 2x) = 0 là

A. x = 3.

B. x = −3.

C. x = 3 và x = $\frac{1}{2}$.

D. x = −3 hoặc x = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: (x² + x + 1)(6 – 2x) = 0

TH1: 6 – 2x = 0 khi x = 3.

TH2: x² + x + 1 = 0 hay ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$ + $\frac{3}{4}$ = 0

(vô lí do ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$ + $\frac{3}{4}$ ≥ $\frac{3}{4}$ với mọi x).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

Bài 3. Tổng các nghiệm của phương trình (x – 5)(3 – 2x)(3x + 4) = 0 là

A. $\frac{3}{2}$.

B. $-\frac{4}{3}$.

C. 5.

D. $\frac{31}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: (x – 5)(3 – 2x)(3x + 4) = 0

TH1: x – 5 = 0 khi x = 5.

TH2: 3 – 2x = 0 khi x = $\frac{3}{2}$.

TH3: 3x + 4 = 0 khi x = $-\frac{4}{3}$.

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là: 5 + $\frac{3}{2}$ + $\left(-\frac{4}{3}\right)$ = $\frac{31}{6}$.

Bài 4. Nghiệm của phương trình (x + 2)$\left(\frac{x+5}{2}-\frac{3-2x}{4}\right)$ = 0 là

A.x = 2 và x = $-\frac{7}{4}$.

B. x = 2 hoặc x = $\frac{7}{4}$.

C.x = −2 hoặc x = $-\frac{7}{4}$.

D. x = −2 và x = $-\frac{7}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: (x + 2) $\left(\frac{x+5}{2}-\frac{3-2x}{4}\right)$= 0

TH1: x + 2 = 0 khi x = −2.

TH2: $\frac{x+5}{2}-\frac{3-2x}{4}$ = 0 hay $\frac{2\left(x+5\right)}{4}-\frac{3-2x}{4}=0$ suy ra 2(x + 5) – 3 + 2x = 0

Do đó, 2x + 10 – 3 + 2x = 0 hay 4x + 7 = 0 khi x = $-\frac{7}{4}$.

Vậy nghiệm của phương trình là x = −2 hoặc x = $-\frac{7}{4}$.

Bài 5. Phương trình (2x² + 3) $\left(\frac{x+3}{2}-\frac{x-1}{3}-\frac{x+5}{6}\right)$= 0  có nghiệm là

A. x = $-\frac{3}{2}$.

B. x = 16.

C. Phương trình vô nghiệm.

D. Phương trình vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: (2x² + 3) $\left(\frac{x+3}{2}-\frac{x-1}{3}-\frac{x+5}{6}\right)$= 0

TH1: 2x² + 3 = 0

Nhận thấy 2x² + 3 ≥ 3 do đó 2x² + 3 = 0 không có giá trị thỏa mãn.

TH2: $\frac{x+3}{2}-\frac{x-1}{3}-\frac{x+5}{6}$ = 0 hay $\frac{3\left(x+3\right)}{6}-\frac{2\left(x-1\right)}{6}-\frac{x+5}{6}$ = 0

Suy ra 3(x + 3) – 2(x – 1) – x – 5 = 0 hay 3x + 9 – 2x + 2 – x – 5 = 0

Do đó, 0x + 6 = 0 suy ra 0x = −16 (vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 6. Nghiệm của phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x² + 4x + 4 là

A.x = $\frac{1}{5}$.

B. x = −2

C. x = 2 hoặc x = $\frac{1}{5}$.

D. x = −2 hoặc x = $\frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: (x + 2)(3 – 4x) = x² + 4x + 4

(x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)²

(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)² = 0

(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0

(x + 2)(1 – 5x) = 0

TH1: x + 2 = 0 khi x = −2.

TH2: 1 – 5x  = 0 khi x = $\frac{1}{5}$.

Vậy x = −2 hoặc x = $\frac{1}{5}$ là nghiệm của phương trình.

Bài 7. Tổng các nghiệm của phương trình (x – 2)² – (2x + 3)² = 0 là

A. $-\frac{14}{3}$.

B. $-\frac{16}{3}$.

C. −3.

D. $-\frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (x – 2)² – (2x + 3)² = 0

(x – 2 – 2x – 3)(x – 2 + 2x + 3) = 0

(−x – 5)(3x + 1) = 0

TH1: −x – 5 = 0 khi x = −5.

TH2: 3x + 1 = 0 khi x = $-\frac{1}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là x = −5 hoặc x = $-\frac{1}{3}$.

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình là −5 + $\left(-\frac{1}{3}\right)$ = $-\frac{16}{3}$.

Bài 8. Tích các nghiệm của phương trình (x² – 5x)² + 10(x² – 5x) + 24 = 0 là

A. 12.

B. 24.

C. −24.

D. −10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: (x² – 5x)² + 10(x² – 5x) + 24 = 0

Đặt t = x² – 5x, ta có phương trình:

t² + 10t + 24 = 0

t² + 4t + 6t + 24 = 0

t(t + 4) + 6(t + 4) = 0

(t + 4)(t + 6) = 0

TH1: t + 4 = 0 khi t = −4.

TH2: t + 6 = 0 khi t = −6.

• Với t = −4 thì x² – 5x + 4 = 0 hay (x – 1)(x – 4) = 0

Do đó x – 1 = 0 hoặc x – 4 = 0. Suy ra x = 1 hoặc x = 4 (1)

• Với t = −6 thì x² – 5x – 6 = 0 hay (x + 1)(x – 6) = 0.

Do đó x + 1 = 0 hoặc x – 6 = 0. Suy ra x = −1 hoặc x = 6 (2).

Vậy nghiệm của phương trình là {1; 4; −1; 6}.

Suy ra tích các nghiệm của phương trình là 1.4.(−1).6 = −24.

Bài 9. Nghiệm của phương trình x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x – 12 = 0 là

A. x = 1 hoặc x = −2.

B. x = −2.

C. x = 1.

D. Phương trình có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x – 12 = 0

x⁴ – x³ + 3x³ – 3x² + 8x² – 8x + 12x – 12 = 0

x³(x – 1) + 3x² (x – 1) + 8x(x – 1) + 12(x – 1) = 0

(x – 1)(x³ + 3x² + 8x + 12) = 0

(x – 1)(x³ +2x² + x² + 2x + 6x  + 12) = 0

(x – 1)[x²(x + 2) + x(x + 2) + 6(x + 2)] = 0

(x – 1)(x + 2)(x² + x + 6) = 0

TH1: x – 1 = 0 khi x = 1.

TH2: x + 2 = 0 khi x = −2.

TH3: x² + x + 6 = 0 hay ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{23}{4}$ = 0.

Nhận thấy ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{23}{4}$ > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó x² + x + 6 = 0 không có giá trị x thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 hoặc x = −2.

Bài 10. Số nghiệm của phương trình (x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180 là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: (x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180

(x + 2)(x – 5)(x + 3)(x – 6) = 180

(x² – 3x – 10)(x² – 3x – 18) = 180

Đặt x² – 3x – 10 = t, ta có phương trình mới là:

t(t – 8) – 180 = 0

t² – 8t – 180 = 0

t² + 10t – 18t – 180 = 0

t(t + 10) – 18(t + 10) = 0

(t + 10)(t – 18) = 0

TH1: t + 10 = 0 khi t = −10.

TH2: t – 18 = 0 khi t = 18.

• Với t = −10 suy ra x² – 3x – 10 = −10 hay x² – 3x = 0.

Suy ra x(x – 3) = 0 khi x = 0 hoặc x = 3 (1)

• Với t = 18 suy ra x² – 3x – 10 = 18 hay x² – 3x – 28 = 0

Suy ra (x – 4)(x – 7) = 0 khi x = 4 hoặc x = 7  (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận được nghiệm của phương trình là x = {0; 3; 4; 7}.

Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
• Viết bất đẳng thức diễn tả một khẳng định
• So sánh các số
• Chứng minh bất đẳng thức

---