Vận dụng tính chất đường phân giác để chứng minh các hệ thức
Với Vận dụng tính chất đường phân giác để chứng minh các hệ thức môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
Dạng bài: Chứng minh hệ thức hình học
A. Phương pháp giải
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho ∆ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC ở D, E. Biết BD = 9cm, CE = 12cm, DE = 14cm. Điểm M nằm trên đoạn thẳng DE sao cho DM = 6cm. Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc A.
Giải.
Theo giả thiết ta có:
Mặt khác, do DE // BC, theo định lý Ta - let:
Từ (1), (2), suy ra:
Câu 2: Cho ∆ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Trong ∆ABC, ta lần lượt thấy:
Khi đó nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có:
Câu 3: Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng:
a) DE // BC.
b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng DI = IE.
c) Tính độ dài DE biết BC = 30cm, AM = 10cm.
Lời giải:
Với ∆AMB có MD là đường phân giác, suy ra:
Với ∆AMC có ME là đường phân giác, suy ra:
Theo giả thiết MB = MC (3)
Từ (1). (2) và (3) suy ra
b) Xét ∆AMB có DI//BC(DE//BC)
( hệ quả định lý Ta- let) (4)
Xét ∆AMC có IE//MC (DE // BC)
( hệ quả và do AM là trung tuyến của ∆ABC nên BM = CM) (5)
Từ (4) và (5)
c) Đặt DE = x.
Trong ∆DEM, vì MD, ME là tia phân giác của 2 góc kề bù
Mà DI = IE(cmt) ⇒MI là trung tuyến
Trong ∆ABM, DE//BC hay DI//BM ta có:
Vậy, ta được DE = 12cm.
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác góc AMC cắt AC tại H. Đường phân giác góc AMB cắt AB tại K. Chứng minh rằng HK//BC.
Câu 2: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm F sao cho BE = BD và trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = CD.
a) Chứng minh EF//BC
b) Chứng minh ED là phân giác của góc BEF và FD là phân giác của góc CFE.
Câu 3: Cho ∆ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC ở D, E. Biết BD = 9cm, CE = 12cm, DE = 14cm. Điểm M nằm trên đoạn thẳng DE sao cho DM = 6cm. Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc A.
Câu 4: Cho ∆ABC cân tại A, có AB = a, BC = b. Đường phân giác góc B cắt AC tại M, đường phân giác góc C cắt AB tại N.
a. Chứng minh rằng MN // BC.
b. Tính độ dài đoạn MN theo a, b.
Câu 5: Đường trung tuyến BK và đường phân giác CD của ∆ABC cắt nhau tại P. Chứng minh rằng .
Câu 6: Cho ∆ABC cân tại A có BM, CN là các đường phân giác. Chứng minh rằng
Câu 7: Cho ∆ABC cân tại A có . Chứng minh .
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc ; vẽ phân giác trong BI, vẽ góc về phía trong tam giác (H∈AB). Vẽ phân giác CK của góc HCB(K∈AB). Chứng minh:
.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:
- Giải bài toán tỉ số diện tích tam giác bằng tính chất đường phân giác
- Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác (hay, chi tiết)
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ nhất (C-C-C)
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ hai (C–G–C)
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng - trường hợp đồng dạng thứ ba (G-G)
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều