Giải bài toán tỉ số diện tích tam giác bằng tính chất đường phân giác

Với Giải bài toán tỉ số diện tích tam giác bằng tính chất đường phân giác môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Bài toán liên quan đến tỉ số diện tích tam giác

A. Phương pháp giải

+) Vận dụng công thức tính diện tích tam giác và tính chất đường phân giác của tam giác.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12cm, AC = 16cm. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD.

b) Tính độ dài cạnh BC của tam giác.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.

d) Tính chiều cao AH của tam giác.

Lời giải:

a) Ta có AD là tia phân giác góc A nên: 

b) Áp dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông ABC, ta có:

Câu 2: Cho ∆ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích ∆ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của ∆ABC là S.

b. Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích ∆ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích ∆ABC?

Lời giải:

a. Kẻ đường cao AH của ∆ABC (H∈BC), ta có:

Do n > m (gt) nên DC > DB. Suy ra, D nằm giữa B và M.

Từ (1) và (2) suy ra: 

Do D nằm giữa B và M nên S_ADM + S_ADB = S_AMB          (3)

Lại có:

Từ (3) suy ra:

b. Thay n = 7cm, m = 3cm vào (4), ta được:

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho ∆ABC có AB = 4cm, AC = 6cm và AD là đường phân giác. Tính tỉ số diện tích của ∆ABD và ∆DAC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có tỉ số giữa hai cạnh chung đỉnh A là 3:2. Vẽ đường trung tuyến AM và đường phân giác AK. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AKM và AKB.

Bài 3. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D ∈ BC), AB = a, AD = b. Chứng minh rằng $\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{CA}$, từ đó tìm tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ABC.

Lời giải:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của các điểm B, C trên đường thẳng AD.

=> BH // CK => $\frac{BH}{CK}=\frac{BD}{CD}$ (1)

Xét ∆ABH và ∆ACK có:

Do đó ∆ABH ᔕ ∆ACK (g.g)

=> $\frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Ta có: $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}.BH.AD}{\frac{1}{2}.CK.AD}=\frac{BH}{CK}=\frac{BD}{CD}=\frac{a}{b}$

=> $\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{a}{a+b}$.

Bài 4. Chi ∆ABC, đường phân giác trong AD, trung tuyến BM. Gọi I là giao điểm của AD và BM. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABI và ABC, biết 3AB = 2AC.

Lời giải:

Xét ∆ABM: $\frac{BI}{IM}=\frac{BA}{AM}=\frac{BA}{\frac{AC}{2}}=\frac{4}{3}$ (tính chất đường phân giác)

=> $\frac{BI}{BM}=\frac{4}{7}$ => S_ABI = $\frac{4}{7}$S_ABM (1)

Vì M là trung điểm của AC nên $S_{ABM}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $S_{ABI}=\frac{2}{7}{S}_{ABC}$.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > 2BC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BC = AM, trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho CE = CB. Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F. Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP.

Lời giải:

Ta có AENF là hình vuông và AN cắt EF tại L

NênDNLE vuông cân tại L.

Hạ LG ⊥ NE (G ∈ NE), khi đó G là trung điểm của NE và LG = $\frac{1}{2}$NE (*)

Ta chứng minh được AMCE là hình bình hành:

AB // CD, M ∈ AB, E ∈ CD => AM // CE

Lại có: AM = BC = CE nên AMCElà hình bình hành.

Suy ra AE // CM

Mà AE ⊥ EN nên CM ⊥ EN hay PK ⊥ KN => ∆PKN vuông cân tại K (do $\widehat{PNE}=45°$)

Suy ra PK = NK (**)

+ ∆NKL có LG ⊥ NK => $S_{NKL}=\frac{1}{2}LG.NK$

+ ∆NPE có PK ⊥ NE => $S_{NPE}=\frac{1}{2}PK.NE$

Do đó kết hợp (*) và (**) => $S_{NKL}=\frac{1}{2}{S}_{NPE}\Rightarrow \frac{S_{NKL}}{S_{NPE}}=\frac{1}{2}$.

Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của đoạn CD. I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số diện tích của ∆ABI và ∆AMC, biết AB = 2AD.

Lời giải:

Vì M là trung điểm của CD nên MC = BC = $\frac{1}{2}$CD

Tam giác BMC vuông cân tại N nên $\widehat{MBC}=45°$ hay BM là đường phân giác của góc B.

Suy ra $\frac{AI}{CI}=\frac{AB}{CB}=2$ (tính chất đường phân giác)

Do đó $\frac{AI}{AC}=\frac{2}{3}=\frac{S_{ABI}}{S_{ABC}}\Rightarrow S_{ABI}=\frac{2}{3}{S}_{ABC}$

Vì M là trung điểm của CD nên S_AMC = $\frac{1}{2}$S_ADC = $\frac{1}{2}$S_ABC

Do đó S_ABI = $\frac{4}{3}$S_AMC.

Bài 7. Cho đường tròn tâm O, bán kính r = 3. Trên đường tròn lấy các điểm A, B, C sao cho AB = AC = 2. Qua B, kẻ đường thẳng song song với AO, cắt đường tròn tại D. AD cắt BC tại K. Tìm tỉ số diện tích giữa hai tam giác BKD và KCD.

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Cung AB và AC bằng nhau, suy ra AO ⊥ BC.

=> BD ⊥ BC => CD là đường kính của đường tròn.

=> C, O, D thẳng hàng

Xét ∆ACO có: $\cos \widehat{COH}=\frac{A{O}^2+C{O}^2-A{C}^2}{2.AO.CO}$ = $\frac{9+9-4}{\mathrm{2.3.3}}=\frac{7}{9}$

=> HO = $CO.\cos \widehat{COH}=\frac{7}{3}$

Vì HO là đường trung bình của ∆BCD

=> BD = 2.HO = $\frac{14}{3}\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{\frac{14}{3}}{2.3}=\frac{7}{9}$

Ta thấy $\widehat{BDA}=\widehat{CDA}$ (chắn hai cung bằng nhau AB và AC)

Suy ra AD là phân giác của góc D.

Do đó $\frac{S_{BKD}}{S_{KCD}}=\frac{BK}{KC}=\frac{BD}{CD}=\frac{7}{9}$.

Bài 8. Cho ∆ABC có AB = 8,7 cm, AC = 6,2 cm. Đường phân giác trong của góc A cắt BC ở D. Biết CD = 5 cm. Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 36 cm, AC = 48 cm. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt đường thẳng AC, AB theo thứ tự tại D và E. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác MDC và ABC.

Bài 10. Cho hình bình hành ABCD có AB = 12 cm, BC = 7 cm. Trên AB lấy E sao cho AE = 8 cm. F = DE Ç BC. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AED và BEF.

Bài 11. Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm D thỏa mãn MD = 2AD. Tia BD cắt BC ở K. Tìm tỉ số diện tích của tam giác ABK và tam giác ABC.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 22 cm, AC = 18 cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác (hay, chi tiết)
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ nhất (C-C-C)
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ hai (C–G–C)
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng - trường hợp đồng dạng thứ ba (G-G)
• Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc dựa vào hai tam giác đồng dạng

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---