Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Với Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki

A. Phương pháp giải

a) Bất đẳng thức Cô – si

Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:

, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Mở rộng:

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

b. Với n số  không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho a₁, a₂, b₁, b₂ là những số thực, ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

Mở rộng: Với các số thực a₁, a₂, b₁, b₂, a₃, b₃, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho a,b>0. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

• Cho cặp số a, b, ta được:

 

• Cho cặp số , ta được:

     

Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:

Dấu bằng xảy ra khi: 

Câu 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Giải.

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Câu 3: Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

Lời giải:

Ta có:

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho 3 số dương x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng:

Câu 2: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: xyz=1. Chứng minh rằng:

Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Câu 4: Cho . Chứng minh rằng:

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

Câu 6: Hai số x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng

Câu 7: Cho các số không âm a, y thỏa mãn . Chứng minh rằng:

D. Bài tập bổ sung

Bài 1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Chứng minh rẳng:

$\frac{x}{x+2yz}+\frac{y}{y+2xz}+\frac{z}{z+2xy}\ge 1$

Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rẳng:

$\frac{x^3}{x+2y}+\frac{y^3}{y+2z}+\frac{z^3}{z+2x}\ge \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$

Bài 3. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:

$\frac{x^3}{(2x^2+y^2)(2x^2+z^2)}+\frac{y^3}{(2y^2+z^2)(2y^2+x^2)}+\frac{z^3}{(2z^2+x^2)(2z^2+y^2)}\le \frac{1}{x+y+z}$

Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:

2xyz(x+y+z)$\le \frac{5}{9}+x^4{y}^2+y^4{z}^2+z^4{x}^2$

Bài 5. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:

$\frac{1}{x^2+xy+yz}+\frac{1}{y^2+yz+zx}+\frac{1}{z^2+zx+xy}\le {\left(\frac{x+y+z}{xy+yz+zx}\right)}^2$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (hay, chi tiết)
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
• Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối
• Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---