Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức (hay, chi tiết)

Trang trước Trang sau

Với Cách chứng minh bất đẳng thức hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng 1: Sử dụng biến đổi tương đương

A. Phương pháp giải

Một số kĩ thuật cơ bản:

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức

+ Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức

+ Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức

+ Kỹ thuật đặt biến phụ

+ Kỹ thuật sắp thứ tự các biến.

+ Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho a và b là hai số bất kỳ chứng minh rằng

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Lời giải:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Câu 2:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Lời giải:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Áp dụng:

Ta viết bất đẳng thức

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

đúng theo bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên.

Câu 3: Chứng minh rằng với ba số a,b,c tùy ý ta luôn có:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Lời giải:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Xét hiệu:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Câu 2: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Câu 3: Cho a, b, c, d, e là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Câu 4: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c ≥1. Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương .

Chứng minh rằng: Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Câu 6: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 .

Chứng minh rằng Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương .

Câu 7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Câu 8: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Dạng 2: Sử dụng phương pháp phản chứng

A. Phương pháp giải

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

*Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Chứng minh rằng: Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Lời giải:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Điều này là vô lý với mọi a và b

Vậy điều giả sử là sai →điều phải chứng minh.

Câu 2: Cho ba số a, b, c ∈ (0;1) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Lời giải:

Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng. Theo giả thiết a, b, c, 1-a, 1-b, 1-c đều là số dương suy ra

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Mặt khác:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Câu 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương.

Lời giải:

Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất tổng quát ta chọn số đó là a, tức là a≤0.

Vì abc>0 nên a≠0, do đó suy ra a<0.

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là đúng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Câu 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng .

Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Câu 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Câu 4: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b=2. Chứng minh rằng:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Câu 5: Cho các số thực a, b, c ∈ (0;2). Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là sai:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Câu 6: Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các số 9ab, 9bc, 9ac nhỏ hơn Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Câu 7: Cho 25 số tự nhiên Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng khác 0 thỏa mãn điều kiện:

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

A. Phương pháp giải

Ta có các tính chất sau :

Tính chất 1: Với hai số thực a, b tùy ý:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Tính chất 2: Ta có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Tính chất 3: Ta có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Tính chất 4: Ta có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

*Với phương trình ta sử dụng các tính chất:

Tính chất 1: Nếu:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Tính chất 2: Nếu:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Tính chất 3: Nếu:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Tính chất 4: Nếu:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Lời giải:

Ta có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Câu 2: Giải phương trình:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Lời giải:

Ta biến đổi phương trình về dạng:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Vậy, phương trình có nghiệm là x≥1.

Câu 3: Cho số thực x thỏa mãn Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Chứng minh rằng x≥2

Lời giải:

Ta có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Câu 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối .

b) Tìm tất cả các giá trị của x để đạt được giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối ta có

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Dễ thấy khi x = 1 thì A = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2

b) Theo nhận xét trên, dấu "=" ở bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Ta có bảng xét dấu:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Dựa vào bảng ta có Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Chứng minh rằng Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối :

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Câu 2: Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Câu 4:

a) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có |a ± b| ≥ |a| - |b|.
b) Biết rằng | a | > 2 | b |. Chứng minh rằng |a| < 2|a - b|.

Câu 5: Chứng minh rằng:
a. Nếu x ≥ y ≥ 0 thì

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

b. Với hai số a, b tuỳ ý, ta có

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki

A. Phương pháp giải

a) Bất đẳng thức Cô – si

Cho hai số không âm a, b, ta luôn có: