Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Bài viết Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax² + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/(2a). Cụ thể:

TH 1: a > 0

TH 2: a < 0:

Ví dụ 1: Cho phương trình x² + 2(m + 3)x + m² - 3 = 0, m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ và P = 5(x₁ + x₂ ) - 2x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m + 3)² - (m² - 3) = 6m + 12

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 6m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Theo định lý Viét ta có:

P = 5(x₁ + x₂) - 2x₁x₂ = -10(m + 3) - 2(m² - 3) = -2m² - 10m - 24.

Xét hàm số f(m) = -2m² - 10m - 24 với m ∈ [-2; +∞)

Bảng biến thiên

Suy rakhi và chỉ khi m = -2

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Hướng dẫn:

Khi đó hàm số trở thành y = t² - 3t + 1 với t ≥ 1

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = t² - 3t + 1 là (-5)/4 khi và chỉ khi t = 3/2 hay

Ví dụ 3: Cho các số thực a, b thoả mãn ab ≠ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn:

Ta có P = t² - 2 - t + 1 = t² - t - 1

Xét hàm số f(t) = t² - t - 1 với t ∈ (-∞;-2] ∪ [2; +∞)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều