Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải (hay, chi tiết)

Với loạt Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

A. Lí thuyết tổng hợp. 

- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thường có dạng: 

; = g(x); = g(x);...

- Điều kiện xác định của là f(x) 0

- Điều kiện xác định của  là f(x) > 0, với A là một số hoặc một biểu thức.

B. Phương pháp giải. 

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta có các phương pháp: 

- Bình phương hai vế. (phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả nên khi tìm ra nghiệm x ta cần thay lại phương trình để kiểm tra). 

- Các phép biến đổi tương đương: 

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.

- Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc phương trình tích. 

C. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Giải các phương trình :  .

Lời giải:

Điều kiện xác định:  

Với điều kiện xác định trên ta có: 

  5x + 6 = 4x + 3

  x = –3 ( không thỏa mãn điều kiện xác định )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình: = x + 3.

Lời giải:

Ta có:  = x + 3

Xét phương trình x² + 3x + 2 = 0 ta có: 1 – 3 + 2 = 0

  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = - 1 (thỏa mãn điều kiện)

x₂ = = -2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {–1; –2}.

Bài 3: Giải phương trình: x -  - 5 = 0.

Lời giải:

Điều kiện xác định: x-1

Đặt ẩn phụ t = (t 0)

t² = x + 1 x = t² - 1

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² - 1 - t - 5 = 0 t² - t - 6 = 0

Xét phương trình t² - t - 6 = 0 có: = (-1)² - 4.1.(-6) = 25

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

t₁ = = 3; t₂ = = -2 ( không thỏa mãn điều kiện t  0)

Với t₁ = 3 ta có: = 3 x + 1 = 3²  x = 8

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}.

Bài 4: Giải phương trình:  = 2

Lời giải:

Điều kiện xác định:   x > –4

Với điều kiện xác định trên ta có: 

 = 2

1 = 2

x + 4 =

x =  (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  .

D. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Phương trình nào dưới đây là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ?

A. x + 2 = 3x

B. 2x + 2 = 0

C. x² - 4x + 5 = 0 

D. - 5x = 3

Đáp án: D

Bài 2: Điều kiện xác định của   là gì ?

A. f (x) < 0

B. f (x) > 0

C. f(x) 0

D. f (x) = 0

Đáp án: C

Bài 3: Giải phương trình: .

Đáp án: Tập nghiệm S =  

Bài 4: Giải phương trình .

Đáp án: Tập nghiệm S = {1}

Bài 5: Giải phương trình = x - 4.

Đáp án: Tập nghiệm S = {5 + }

Bài 6: Giải phương trình  - 2x + 3 = 0.

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Bài 7: Giải phương trình  = 2.

Đáp án: Tập nghiệm S =

Bài 8: Giải phương trình .

Đáp án: Tập nghiệm S =

Bài 9: Giải phương trình  + 3 = 2x.

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Bài 10: Giải phương trình  + 3x = 0.

Đáp án: Tập nghiệm S = {0}

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Các dạng toán về hệ phương trình và cách giải
• Các dạng bài tập Bất đẳng thức và cách giải
• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải
• Bất phương trình bậc hai và cách giải
• Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3