Dấu của tam thức bậc hai

Với Dấu của tam thức bậc hai sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

1. Phương pháp giải

- Cách 1:

 Xét tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c với a ≠ 0, có Δ = b² - 4ac:

+ Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi x ∈ ℝ).

+ Nếu Δ = 0 thì f(x) có nghiệm kép là x = $-\frac{b}{2a}$.

Khi đó f(x) sẽ cùng dấu với a (với mọi $x\ne \frac{-b}{2a}$).

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a khi x < x₁ hoặc x > x₂, trái dấu với a khi x₁ < x < x₂, trong đó x₁, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm của f(x). Từ đó ta lập bảng xét dấu cho tam thức bậc hai rồi đưa ra kết luận.

- Cách 2: Tìm các nghiệm của phương trình, lập bảng xét dấu cho các khoảng nghiệm của phương trình tương tự như cách 1 và đưa ra kết luận.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Xét dấu của tam thức bậc hai sau: f(x) = 3x² + 2x - 5.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ = b² - 4ac = 2² - 4.3.(-5) = 64 > 0

Phương trình f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{-5}{3}$, x₂ = 1.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) < 0 khi $x\in \left(-\frac{5}{3};1\right)$ và f(x) > 0 khi $x\in \left(-\infty ;-\frac{5}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức f(x) = $\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta xét: x² + 2x + 1 nên x = -1.

x² - 1 = 0

x = -1 hoặc x = 1.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) < 0 khi x ∈ (-1;1) và f(x) > 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét dấu của tam thức bậc hai sau: f(x) = 3x² - 2x + 1.

Hướng dẫn giải:

Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4.3.1 = -8 < 0

Do a = 3 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0.

Bài 2. Xét dấu của tam thức bậc hai sau: f(x) = -x² + 4x + 5.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ = b² - 4ac = 4² - 4.(-1).5 = 36 > 0.

Phương trình f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = -1, x₂ = 5.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (-1;5) và f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(5;+\infty \right)$.

Bài 3. Xét dấu của biểu thức f(x) = $\left(-x^2+x-1\right)\left(6x^2-5x+1\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta xét:  -x² + x - 1 < 0.

Thật vậy Δ = b² - 4ac = 1² - 4.(-1).-1 = -3 < 0.

6x² - 5 + 1 = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{1}{3}$.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi $x\in \left(\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right)$ và f(x) > 0 khi $x\in \left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Bài 4. Xét dấu của biểu thức f(x) = (x² - x - 2)(-x² + 3x + 4).

Hướng dẫn giải:

Ta xét: x² - x - 2 nên x = –1 hoặc x = 2.

-x² + 3x + 4 = 0 nên x = –1 hoặc x = 4.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (2;4) và f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(-1;2\right)\cup \left(4;+\infty \right)$

Bài 5. Xét dấu của biểu thức f(x) = 4x² - x + 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4.4.1 = -15 < 0.

Do a = 4 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0.

Bài 6. Xét dấu của biểu thức f(x) = x² - 4x + 3.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.3 = 4 < 0.

Phương trình f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1, x₂ = 3.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) < 0 khi x ∈ (1;3) và f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$.

Bài 7. Xét dấu của biểu thức f(x) = x² + 2x + 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ = b² - 4ac = 2² - 4.1.1 = 0.

Do a = 4 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0, phương trình có nghiệm kép x = –1 nên f(x)  > 0 với mọi x ≠ –1.

Bài 8. Tìm giá trị nguyên của x để tam thức f(x) = 2x² – 7x – 9 nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải:

Ta xét: 2x² – 7x – 9 = 0

x = –1 hoặc x = $\frac{9}{2}$.

Ta có bảng xét dấu

Vậy tam thức trên nhận giá trị âm khi $x\in \left(-1;\frac{9}{2}\right)$. Mà x nguyên nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4}.

Bài 9. Tìm điều kiện của x để tam thức f(x) = –x² + 5x – 6 nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải:

Ta xét: –x² + 5x – 6 = 0

x = 2 hoặc x = 3.

Ta có bảng xét dấu

Vậy tam thức trên nhận giá trị dương khi x ∈ (2; 3).

Bài 10. Tìm điều kiên của x để tam thức bậc hai f(x) = − x² + 3x − 2 nhận giá trị không âm.

Hướng dẫn giải:

Ta xét: − x² + 3x – 2 = 0

x = 1 hoặc x = 2.

Ta có bảng xét dấu

Vậy tam thức trên nhận giá trị không âm khi x ∈ [1;2].

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---