Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

• Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

• Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh ΔBEH ᔕΔCDH.

Hướng dẫn giải

Xét hai tam giác BEH và CDH có:

$\widehat{\text{BEH}}=\widehat{\text{CDH}}=90°$

$\widehat{\text{EHB}}=\widehat{\text{DHC}}$ (đối đỉnh)

Do đó ΔBEH ᔕΔCDH (g.g).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, AB = 6 cm, BC = 10 cm. Kẻ Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC). Lấy điểm D thộc Cx sao cho DC = $\frac{40}{3}$ cm. Chứng minh ΔABC ᔕΔCBD.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\frac{AC}{CD}=\frac{8}{\frac{40}{3}}=\frac{3}{5}$ .

Suy ra $\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}$ .

Xét ΔABC và ΔCBD có:

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{BCD}}=90°$; $\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{\text{AC}}{\text{CD}}$ (chứng minh trên).

Do đó ΔABC ᔕΔCBD (c.g.c).

2. Thêm một dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABH vuông tại H có AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho $\text{AC}=\frac{5}{3}\text{AH}$. Chứng minh ΔABH ᔕΔCAH.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BH}}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3};\frac{\text{AC}}{\text{AH}}=\frac{5}{3}$.

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BH}}=\frac{\text{AC}}{\text{AH}}$ hay $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BH}}{\text{AH}}$.

Xét ΔABH và ΔCAH có:

$\widehat{\text{AHB}}=\widehat{\text{AHC}}=90°$; $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BH}}{\text{AH}}$.

Do đó ΔABH ᔕΔCAH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Chú ý:

– Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

– Tỉ số diện tích của hai tam giác vuông bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, kẻ DM ⊥ BC (M ∈ BC). Tia MD cắt BA tại N.

a) Chứng minh ΔBAM ᔕΔBCN.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác BAM và BCN.

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{BAC}=90°$ ; AB = AC.

Xét ΔBAC và ΔBMN có:

$\widehat{BAC}=\widehat{BMN}=90°$; $\hat{B}$ chung.

Do đó ΔBAMᔕΔBMN (g.g).

Suy ra $\frac{BA}{BM}=\frac{BC}{BN}$.

Xét ΔBAM vàΔBCN có:

$\frac{BA}{BM}=\frac{BC}{BN}$ (chứng minh trên); $\hat{B}$ chung.

Suy ra ΔBAM ᔕΔBCN (c.g.c).

b) Áp dụng định lý Pythagore vào ΔABC vuông cân tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 2AB² (vì AB = AC).

Suy ra $\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{1}{2}.$

Vì ΔBAM ᔕΔBCN (câu a) nên $\frac{S_{BAM}}{S_{BCN}}=\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{1}{2}.$

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác BAM và BCN là $\frac{1}{2}$.

Bài tập Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 1.Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BM}}{\text{CN}}$.

Hướng dẫn giải

Xét ΔABM và ΔACN có:

$\widehat{\text{AMB}}=\widehat{\text{ANC}}=90°$

$\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{CAN}}$ (do AD là phân giác của góc A)

Do đó ΔABM ᔕΔACN (g.g).

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BM}}{\text{CN}}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm, AC = 8 cm và tam giác DEF vuông tại D có EF = 5 cm, DF = 4 cm. Tính tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{8}{4}=2,\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{10}{5}=2$.

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}$.

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{EDF}}=90°$; $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}$.

Do đó, ΔABC ᔕΔDEF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=2$.

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{\text{AC + BC + AB}}{\text{DE + EF + DE}}=2$.

Vậy tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF là 2.

Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Trên cạnh AD lấy I sao cho AB . DC = AI . DI.Tính số đo $\widehat{\text{BIC}}$.

Hướng dẫn giải

Vì AB . DC = AI . DI nên $\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}}$.

Xét hai tam giác ABI và DIC có:

$\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}}$; $\widehat{\text{BAI}}=\widehat{\text{CDI}}=90°$.

Do đó, ΔABI ᔕΔDIC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{\text{AIB}}=\widehat{\text{DCI}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{DCI}}=90°$ (do tam giác DIC vuông tại D)nên $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}=90°$ .

Do đó $\widehat{\text{BIC}}=180°-\left(\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}\right)=180°-90°=90°$.

Bài 4. Một ngôi nhà có thiết kế mái như hình bên và có các số đo như sau: AD = 1,5 m, DE = 2,5 m, BF = GC = 1 m, FG = 5,5 m. Tính chiều dài AB của mái nhà bên, biết DE // BC.

Hướng dẫn giải

Ta có BC = BF + FG + GC = 1 + 5,5 + 1 = 7,5 (m).

Xét tam giác ABC, do DE // BC nên ΔABC ᔕΔADE.

Suy ra $\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{DE}}{\text{BC}}$ hay $\frac{1,5}{\text{AB}}=\frac{2,5}{7,5}$.

Suy ra $\text{AB}=\frac{1,5\cdot 7,5}{2,5}=4,5$ (m).

Vậy chiều dài AB của mái nhà bên là 4,5 m.

Bài 5. Để đo chiều cao của cột đèn ta làm như sau: Đặt tấm gương phẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, mắt của người quan sát nhìn thẳng vào tấm gương, người quan sát di chuyển sao cho thấy được đỉnh ngọn đèn trong tấm gương và $\widehat{\text{ABC}}=$$\widehat{A\text{'}BC\text{'}}$. Cho chiều cao tính từ mắt của người quan sát đến mặt đất là AC = 1,7 m, khoảng cách từ gương đến chân người là BC = 0,6 m, khoảng cách từ gương đến chân cột đèn là BC' = 1,5 m. Tính chiều cao của cột đèn A'C'.

Hướng dẫn giải

Xét ΔACB và ΔA'C'B có:

$\widehat{\text{ABC}}=\widehat{A\text{'}BC\text{'}}$; $\widehat{\text{ACB}}=\widehat{A\text{'}C\text{'}B}=90°$.

Do đó ΔACB ᔕΔA'C'B (g.g).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{\text{CB}}{C\text{'}B}$ hay $\frac{\text{1,7}}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{0,6}{1,5}$.

Suy ra $A\text{'}C\text{'}=\frac{1,7\cdot 1,5}{0,6}=4,25\text{(m)}.$

Vậy chiều cao của cột đèn A'C' bằng 4,25 m.

Học tốt Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Các bài học để học tốt Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Hai hình đồng dạng

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 8

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Mô tả xác suất bằng tỉ số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Xác suất lí thuyết và xác suất thực nghiệm

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---