So sánh các phân số. Hỗn số dương (Lý thuyết Toán lớp 6) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 Bài 2: So sánh các phân số. Hỗn số dương hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 6.

Lý thuyết So sánh các phân số. Hỗn số dương

1. So sánh các phân số

a) So sánh hai phân số

Trong hai phân số khác nhau luôn có một phân số nhỏ hơn phân số kia.

- Nếu phân số $\frac{a}{b}$ nhỏ hơn phân số $\frac{c}{d}$ thì ta viết $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ hay $\frac{c}{d}>\frac{a}{b}.$ 

- Phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương.

- Phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm.

- Nếu $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ và $\frac{c}{d}<\frac{e}{g}$ thì $\frac{a}{b}<\frac{e}{g}.$ 

b) Cách so sánh hai phân số

* So sánh hai phân số cùng mẫu

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Ví dụ 1. So sánh hai phân số $\frac{1}{3}$ và $\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta thấy hai phân số trên cùng mẫu số là 3, tử số của hai phân số là 1 < 2

Nên $\frac{1}{3}<\frac{2}{3}$ hay $\frac{2}{3}>\frac{1}{3}.$ 

Chú ý: Với hai phân số có cùng một mẫu nguyên âm, ta đưa chúng về hai phân số có cùng mẫu nguyên dương rồi so sánh.

Ví dụ 2. So sánh hai phân số $\frac{1}{-3}$ và  $\frac{-2}{-3}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{1}{-3}=\frac{-1}{3}$ và $\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$ 

Hai phân số có cùng mẫu số là 3, tử số của hai phân số là ‒1 < 2 nên $\frac{-1}{3}<\frac{2}{3}$.

Do đó  $\frac{1}{-3}<\frac{-2}{-3}$.

*So sánh hai phân số không cùng mẫu

Để so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số đó (về cùng một mẫu dương) rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Bước 1: Quy đồng mẫu hai phân số đã cho (về cùng một mẫu dương)

Bước 2: So sánh tử của các phân số: Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ 3. So sánh hai phân số $\frac{-3}{8}$ và $\frac{5}{-7}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{5}{-7}=\frac{-5}{7}=\frac{\left(-5\right).8}{7.8}=\frac{-40}{56}$ và $\frac{-3}{8}=\frac{\left(-3\right).7}{8.7}=\frac{-21}{56}$ 

Do ‒40 < ‒21 nên $\frac{-40}{56}<\frac{-21}{56}$.

Vậy $\frac{5}{-7}<\frac{-3}{8}.$ 

2. Hỗn số dương

Viết một phân số lớn hơn 1 thành tổng của một số nguyên dương và một phân số nhỏ hơn 1 (với tử và mẫu dương) rồi viết chúng liền nhau thì được 1 hỗn số dương.

Ví dụ 4.

a) Phân số $\frac{13}{3}=\frac{4.3+1}{3}=\frac{4.3}{3}+\frac{1}{3}=4+\frac{1}{3}=4\frac{1}{3}.$

Do đó phân số $\frac{13}{3}$ còn được viết dưới dạng hỗn số là $4\frac{1}{3}.$  

b) Hỗn số $2\frac{3}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{2.4}{4}+\frac{3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}$.

Do đó hỗn số $2\frac{3}{4}$ viết dưới dạng phân số là $\frac{11}{4}.$  

Bài tập So sánh các phân số. Hỗn số dương

Bài 1: So sánh các phân số sau:

a) $\frac{2}{-5}$ và $\frac{-3}{5}$;

b) $\frac{1}{3}$ và $\frac{5}{6}$;

c) $\frac{5}{-7}$ và $\frac{-7}{11}$;

d) $\frac{5}{6}$ và  $\frac{63}{-70}$.

Hướng dấn giải

a) $\frac{2}{-5}$ và $\frac{-3}{5}$

Ta có: $\frac{2}{-5}=\frac{-2}{5}$

Do ‒2 > ‒3 nên $\frac{-2}{5}>\frac{-3}{5}$.

Vậy $\frac{2}{-5}>\frac{-3}{5}$;

b) $\frac{1}{3}$ và $\frac{5}{6}$

Ta có $\frac{1}{3}=\frac{1.2}{3.2}=\frac{2}{6}$

Vì 2 < 5 nên $\frac{2}{6}<\frac{5}{6}$ 

Vậy $\frac{1}{3}<\frac{5}{6}.$ 

c) $\frac{5}{-7}$ và $\frac{-7}{11}$ 

Ta có: $\frac{5}{-7}=\frac{-5}{7}=\frac{(-5).11}{7.11}=\frac{-55}{77}$ và $-\frac{7}{11}=\frac{-7}{11}=\frac{\left(-7\right).7}{11.7}=\frac{-49}{77}$ 

Vì 55 > 49 nên –55 < –49 do đó $\frac{-55}{77}<\frac{-49}{77}$.

Vậy $\frac{5}{-7}<\frac{-7}{11}.$ 

d) $\frac{5}{6}$ và $\frac{63}{-70}$ 

Ta có: $\frac{5}{6}>0$ và $\frac{63}{-70}<0$

Do đó $\frac{5}{6}>0>\frac{63}{-70}$

Vậy $\frac{5}{6}>\frac{63}{-70}$.

Bài 2: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $-\frac{2}{9};\frac{3}{4};-\frac{1}{12};\frac{5}{6};-\frac{5}{8};1\frac{1}{2}.$

Hướng dấn giải

Ta chia các số $-\frac{2}{9};\frac{3}{4};-\frac{1}{12};\frac{5}{6};-\frac{5}{8};1\frac{1}{2}.$ thành hai nhóm:

Nhóm 1: gồm các số $\frac{3}{4};\frac{5}{6};1\frac{1}{2}.$

Nhóm 2: gồm các số $-\frac{2}{9};$$-\frac{1}{12};$$-\frac{5}{8}.$

Ta đi so sánh nhóm 1: $\frac{3}{4};\frac{5}{6};1\frac{1}{2}.$

Có  $\frac{3}{4}=\frac{3.3}{4.3}=\frac{9}{12}$; $\frac{5}{6}=\frac{5.2}{6.2}=\frac{10}{12}$ và $1\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{3.6}{2.6}=\frac{18}{12}.$ 

Do 9 < 10 < 18 nên $\frac{9}{12}<\frac{10}{12}<\frac{18}{12}$ 

Vậy $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}<1\frac{1}{2}.$ 

Ta đi so sánh nhóm 2: $-\frac{2}{9};$$-\frac{1}{12};$$-\frac{5}{8}.$

Vì $\frac{2}{9}<\frac{5}{9}<\frac{5}{8}$ nên $-\frac{2}{9}>-\frac{5}{8}$

Vì $\frac{2}{9}>\frac{2}{12}>\frac{1}{12}$ nên $-\frac{2}{9}<-\frac{1}{12}$

Do đó $-\frac{5}{8}<-\frac{2}{9}<-\frac{1}{12}$

Trong tất cả các phân số thì phân số âm luôn nhỏ hơn phân số dương, do đó ta có:

$-\frac{5}{8}<-\frac{2}{9}<-\frac{1}{12}<\frac{3}{4}<\frac{5}{6}<1\frac{1}{2}.$

Vậy ta có thể sắp xếp theo thứ tự tăng dần là $-\frac{5}{8};-\frac{2}{9};-\frac{1}{12};\frac{3}{4};\frac{5}{6};1\frac{1}{2}.$

Bài 3: Viết các đại lượng sau dưới dạng phân số và so sánh:

a) Thời gian nào dài hơn: 2 giờ 45 phút hay $2\frac{1}{4}$ giờ?      

b) Vận tốc nào nhỏ hơn: $\frac{5}{6}$ km/h hay $\frac{7}{9}$ km/h?

Hướng dẫn giải

a) Ta có 45 phút = $\frac{45}{60}$ giờ = $\frac{45:15}{60:15}$ giờ = $\frac{3}{4}$ giờ

Do đó 2 giờ 45 phút = $\left(2+\frac{3}{4}\right)$ giờ = $\left(\frac{8}{4}+\frac{3}{4}\right)$ giờ = $\frac{11}{4}$ giờ.

$2\frac{1}{4}$ giờ = $\left(2+\frac{1}{4}\right)$ giờ = $\left(\frac{8}{4}+\frac{1}{4}\right)$ giờ = $\frac{9}{4}$ giờ.

Vì 11 > 9 nên $\frac{11}{4}>\frac{9}{4}$

Do đó 2 giờ 45 phút > $2\frac{1}{4}$ giờ.

Vậy 2 giờ 45 phút dài hơn $2\frac{1}{4}$ giờ.

b) Ta có  $\frac{7}{9}=\frac{7.6}{9.6}=\frac{42}{54}$  và $\frac{5}{6}=\frac{5.9}{6.9}=\frac{45}{54}$

Vì 42 < 45 nên $\frac{42}{54}<\frac{45}{54}$        

Do đó $\frac{7}{9}$ km/h < $\frac{5}{6}$ km/h

Vậy vận tốc $\frac{7}{9}$ km/h nhỏ hơn $\frac{5}{6}$ km/h.

Bài 4: Điền số nguyên thích hợp vào các chỗ trống sau:

a) $\frac{10}{15}<\frac{\mathrm{...}}{15}<\frac{\mathrm{...}}{15}<\frac{\mathrm{...}}{15}<\frac{\mathrm{...}}{15}<\frac{15}{15}$;

b) $\frac{5}{-11}<\frac{\mathrm{...}}{-11}<\frac{\mathrm{...}}{-11}<\frac{\mathrm{...}}{-11}<\frac{1}{-11}$;

Hướng dẫn giải

a) Giả sử $\frac{10}{15}<\frac{a}{15}<\frac{b}{15}<\frac{c}{15}<\frac{d}{15}<\frac{15}{15}$

Ta thấy các phân số trên đều có mẫu số chung là 15, do đó ta có:

10 < a < b < c < d < 15

Mà a, b, c, d là các số nguyên nên a = 11, b = 12, c = 13, d = 14.

Vậy các số nguyên điền vào chỗ trống lần lượt là: 11; 12; 13; 14.

b) Giả sử $\frac{5}{-11}<\frac{x}{-11}<\frac{y}{-11}<\frac{z}{-11}<\frac{1}{-11}$

Suy ra  $\frac{-5}{11}<\frac{-x}{11}<\frac{-y}{11}<\frac{-z}{11}<\frac{-1}{11}$

Do đó ‒5 < ‒x < ‒y < ‒z < ‒1

Hay 5 > x > y > z > 1

Mà x, y, z là các số nguyên nên x = 4, y = 3, z = 2.

Vậy các số nguyên cần điền vào chỗ trống lần lượt là 4; 3; 2.

Học tốt So sánh các phân số. Hỗn số dương

Các bài học để học tốt So sánh các phân số. Hỗn số dương Toán lớp 6 hay khác:

• Giải sgk Toán 6 Bài 2: So sánh các phân số. Hỗn số dương

• Giải sbt Toán 6 Bài 2: So sánh các phân số. Hỗn số dương

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 6 Bài 3: Phép cộng. Phép trừ phân số

• Lý thuyết Toán 6 Bài 4: Phép nhân, phép chia phân số

• Lý thuyết Toán 6 Bài 5: Số thập phân

• Lý thuyết Toán 6 Bài 6: Phép cộng, phép trừ số thập phân

• Lý thuyết Toán 6 Bài 7: Phép nhân, phép chia số thập phân

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 6 hay khác:

• Giải sgk Toán 6 Cánh diều
• Giải SBT Toán 6 Cánh diều
• Giải lớp 6 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 6 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 6 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---