Giải Toán 12 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 72 Tập 1 trong Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 72.

Luyện tập 7 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Theo Ví dụ 7, tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là A(2; 1; 0,5).

Tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là B(−1; −1,5; 0,8).

Khi đó ta có $O A = |\vec{O A}| = \sqrt{4 + 1 + 0,25} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ; $O B = |\vec{O B}| = \sqrt{1 + {1,5}^{2} + {0,8}^{2}} = \frac{\sqrt{389}}{10}$ .

Vì $\frac{\sqrt{21}}{2} > \frac{\sqrt{389}}{10}$ nên OA > OB.

Do đó khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn và khinh khí cầu thứ nhất ở xa điểm xuất phát hơn.

Bài 2.20 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (3; 1; 2)$ , $\vec{b} = (- 3; 0; 4)$ và $\vec{c} = (6; - 1; 0)$ .

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ và $2 \vec{a} - 3 \vec{b} - 5 \vec{c}$ .

b) Tính các tích vô hướng $\vec{a} . (- \vec{b})$ và $(2 \vec{a}) . \vec{c}$ .

Lời giải:

a) Tọa độ của vectơ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ là (3 – 3 + 6; 1 + 0 – 1; 2 + 4 + 0) = (6; 0; 6).

Có $2 \vec{a} = (6; 2; 4)$ ; $3 \vec{b} = (- 9; 0; 12)$ ; $5 \vec{c} = (30; - 5; 0)$ .

Tọa độ của vectơ $2 \vec{a} - 3 \vec{b} - 5 \vec{c}$ là (6 + 9 – 30; 2 + 5; 4 – 12) = (−15; 7; −8).

b) Có $- \vec{b} = (3; 0; - 4)$ .

Do đó $\vec{a} . (- \vec{b}) = 3.3 + 1.0 + 2. (- 4) = 1$ .

$(2 \vec{a}) . \vec{c} = 6.6 + 2. (- 1) + 4.0 = 34$ .

Bài 2.21 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(−4; 3; 3), N(4; −4; 2) và P(3; 6; −1).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ , từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{N M} + \vec{N P}$ , từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

Lời giải:

a) $\vec{M N}$ = $(4 + 4; - 4 - 3; 2 - 3) = (8; - 7; - 1), \vec{M P}$ = $(3 + 4; 6 - 3; - 1 - 3) = (7; 3; - 4)$ .

Do không tồn tại số thực k sao cho $\vec{M P} = k \vec{M N}$ nên hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{M P}$ không cùng phương, vậy ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Có $\vec{N M} = (- 8; 7; 1)$ và $\vec{N P} = (- 1; 10; - 3)$ .

Suy ra $\vec{N M} + \vec{N P}$ = (-8-1; 7 + 10; 1 - 3) = (-9; 17; -2) (1).

Theo quy tắc hình bình hành có: $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{N Q}$ (2).

Gọi Q(x; y; z). Khi đó $\vec{N Q} = (x - 4; y + 4; z - 2)$ (3).

Từ (1), (2), (3), ta có: $\{\begin{cases} x - 4 = - 9 \\ y + 4 = 17 \\ z - 2 = - 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 5 \\ y = 13 \\ z = 0 \end{cases}$ .

Vậy Q(−5; 13; 0).

c) Có $\vec{M N} = (8; - 7; - 1)$ => $|\vec{M N}| = \sqrt{114}$ ;

$\vec{N P} = (- 1; 10; - 3) \Rightarrow |\vec{N P}| = \sqrt{110}$

Do đó chu vi hình bình hành là: $2 (|\vec{M N}| + |\vec{N P}|)$ = $2 (\sqrt{114} + \sqrt{110})$ .

Bài 2.22 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; −3; 1) và C(4; −1; 4).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\hat{B A C} = 90 °$ .

c) Tính $\hat{A B C}$ .

Lời giải:

a) Gọi G(x; y; z) là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} x = \frac{1 + 0 + 4}{3} \\ y = \frac{0 - 3 - 1}{3} \\ z = \frac{1 + 1 + 4}{3} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{- 4}{3} \\ z = 2 \end{cases}$ .

Vậy $G (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}; 2)$ .

b) Có $\vec{A B} = (0 - 1; - 3 - 0; 1 - 1) = (- 1; - 3; 0)$ ; $\vec{A C} = (4 - 1; - 1 - 0; 4 - 1) = (3; - 1; 3)$ .

Vì $\vec{A B} . \vec{A C} = (- 1) .3 + (- 3) . (- 1) + 0.3 = 0$ .

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ hay $\hat{B A C} = 90 °$ .

c) Có $\vec{B A} = - \vec{A B} = (1; 3; 0); |\vec{B A}| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ;

$\vec{B C} = (4 - 0; - 1 + 3; 4 - 1) = (4; 2; 3); |\vec{B C}| = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$ .

Ta có $\hat{A B C} = (\vec{B A}, \vec{B C})$ .

Có $\cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{|\vec{B A}| . |\vec{B C}|}$ $= \frac{1.4 + 3.2 + 0.3}{\sqrt{10} . \sqrt{29}} = \frac{\sqrt{290}}{29}$ .

Do đó $\hat{A B C} \approx 54 °$ .

Bài 2.23 trang 72 Toán 12 Tập 1: Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Bài 2.23 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Lời giải:

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B' (6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên I là trung điểm của O'B'.

Do đó $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{6 + 0}{2} \\ y_{I} = \frac{8 + 0}{2} \\ z_{I} = \frac{3 + 3}{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{I} = 3 \\ y_{I} = 4 \\ z_{I} = 3 \end{cases}$ .

Vậy tọa độ điểm treo đèn là (3; 4; 3).

Bài 2.24 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi radar có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; −10) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Bài 2.24 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Lời giải:

Để xác định xem radar có thể phát hiện được tàu thám hiểm hay không, ta cần xác định khoảng cách giữa radar và tàu thám hiểm.

Theo đề ta có tọa độ của radar là (0; 0; 0), tọa độ của tàu thám hiểm là (25; 15; −10).

Khi đó khoảng cách giữa radar và tàu thám hiểm là:

$d = \sqrt{{(25 - 0)}^{2} + {(15 - 0)}^{2} + {(- 10 - 0)}^{2}} = 5 \sqrt{38} \approx 30,82$ (km).

Vì phạm vi theo dõi của radar là 30 km mà khoảng cách giữa radar và tàu thám hiểm là 30,82 km nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác