Hoạt động 4 trang 6 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Hoạt động 4 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?

b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int [f (x) + g (x)] d x$ và $\int f (x) d x + \int g (x) d x$

Lời giải:

a) Vì F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K nên ta suy ra F'(x) = f(x), G'(x) = g(x).

Do đó, F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Mà F'(x) + G'(x) = [F(x) + G(x)]' nên [F(x) + G(x)]' = f(x) + g(x).

Từ đó suy ra F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Vì H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K nên ta suy ra H'(x) = f(x) + g(x), F'(x) = f(x).

Ta có G(x) = H(x) – F(x).

Suy ra G'(x) = [H(x) – F(x)]' = H'(x) – F'(x) = f(x) + g(x) – f(x) = g(x).

Vậy G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

c) Từ câu a, ta suy ra $\int [f (x) + g (x)] d x = F (x) + G (x) + C$ . (1)

Lại có $\int f (x) d x + \int g (x) d x = [F (x) + C_{1}] + [G (x) + C_{2}] = F (x) + G (x) + (C_{1} + C_{2})$ .

Vì C, C₁, C₂ là các hằng số tùy ý trên K nên ta có C₁ + C₂ = C tùy ý trên K.

Do đó, $\int f (x) d x + \int g (x) d x = F (x) + G (x) + C$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác